Сколькими способами можно поместить 7 различных предметов в 5 ящиков, если не должно быть пустых ящиков?

Предыдущий ответ не совсем точный. Автор не учитывает тот факт, что не играет роли, какой предмет мы кладёт в ящик первым, какой - вторым. Можно, например, (если пронумеровать ящики и предметы) , сначала в ящики с номерами 1, 2, 3, 4 и 5 положить предметы с соответствующими номерами, а потом в первый ящик положить 6-й и 7-й предмет, а можно с ящики с этими номерами положить предметы 6, 2, 3, 4, 5, а затем в первый ящик добавить предметы 1 и 7, после чего предметы будут разложены по ящикам точно так же, как в первом случае. Поскольку, в предыдущем ответе каждому способу размещения соответствует 3 варианта манипуляций с предметами, то его нужно разделить на 3, а второе слагаемое - на 4, поскольку из каждой пары предметов, лежащих в одном ящике мы можем выбрать тот который будем класть первым, двумя способами, а всего таких пар у нас 2.

Т. е. ответ будет 12600/3+50400/4=4200+12600=16800.

Ящики тоже различные?

Сначала разложим по одному предмету в 5 ящиков, при этом число способов равно числу размещений из 7 элементов по 5, т.е. 7*6*5*4*3=2520.
Осталось 2 предмета, которые можно положить:
или оба в один из 5 ящиков - это 5 возможностей, что приводит к 2520*5=12600,
или по одному в 5 ящиков, это число размещений из 5 по 2, т.е. 5*4=20, что приводит к 2520*20=50400.
Окончательно: 12600+50400=63000. Удивительно много!

7*5=35 уникальных вариантов по одной вещи
2 вещи осталось, их можно поместить по одной = 23 варианта
и по две 5 вариантов
итого 35+23+5 = 63

я хреновый математик поэтому могу ошибаться.

Условий маловато. Что то вы забыли....