Как удалось найти планеты у других звёзд?

Для этого обращаются к методу Доплера или методу лучевых скоростей. Если вокруг звезды обращается достаточно массивная экзопланета, то благодаря гравитационному взаимодействию, она влияет на движение собственного солнца. И если анализировать скорость, с которой звезда приближается или удаляется от Земли, то можно сделать вывод о наличии у неё невидимого компаньона и достаточно точно оценить его массу. Благодаря методу Доплера были открыты 543 экзопланеты.

по эффекту Допплера
вот тут кратенько и простенько
https://zen.yandex.ru/media/prepod2012/kak-astronomy-nahodiat-planety-u-drugih-zvezd-5ecc16666f66a73416327fb3

в телескоп хороший

На это есть телескопы. Сами планеты большей частью не видны, но видны изменения блеска звезд при прохождении планет перед звездами, качания положения звезд из стороны в сторону и т. п.

Разные методы есть, но легче и чаще всего применялся транзитный метод. Когда планета закрывает собой звезду, её яркость слегка уменьшается.

телеграмму отправили да спросили

Метод доплера, транзитный, гравитационное микролинзирование, ну и наблюдение

Это сравнительно просто. Как только удалось изобрести приборы, которые с большой точностью регистрируют интенсивность свечения той или иной звезды, так и сразу стали получать данные об их планетах. Планета, как известно не светится. А звезда светится. Когда планета проходит перед звездой, блеск звезды уменьшается на величину размера планеты. Чем планета больше, тем больше уменьшается интенсивность свечения звезды. А время обращения планеты соответствует периоду уменьшения блеска. Далее набор статистики и обработка данных. Можно определить и количество планет и их качество. Это уже совершается по мере накопления опыта. Измерения спектральных свойств, когда планета проходит перед звездой. По спектру можно определить состав атмосферы планеты. Это уже тонкости обработки данных. Чем чувствительнее аппаратура, тем больше данных можно получить.

специальшая штуковина
вики Hipparcos

На ютубе глянь.

Периодическое изменение яркости звезды.

Мощные телескопы, мат расчёты

Хабл те в помощ
знатная лупа