Откуда стали известными расстояния до Луны, Солнца, звезд и галактик?

Расстояние до небесных тел определяются разными способами. Так для близких объектов, как планеты Солнечной системы, Луна и Солнце, можно определить расстояние используя законы небесной механики (законы Кеплера), то есть прямые наблюдения за движением этих тел или суточный параллакс. Именно так были определены в первый раз расстояния до Луны и Солнца.
Для ближайших звезд расстояние определяли на основе годичного параллакса, то есть радиус орбиты Земли.
Позже начали методы радиоастрономии и спектральный анализ. До галактик расстояние определяется по переменным звездам и по красному смещению.

Луна
Единственное естественное небесное тело, расстояние до которого можно измерить с крайне высокой точностью (миллиметры!). Это стало возможным благодаря так называемым уголковым отражателям, оставленными людьми на лунной поверхности в 1969-1972 годах. Телескоп направляется точно на уголковые отражатели, затем через него пускают лазерный луч. Лазерное излучение отражается от, кхм, отражателя и достигает Земли, где фиксируется. Зная время, требуемое свету достигнуть Луны, и его скорость, без труда можно посчитать расстояние.
Уголковые отражатели имеются (и используются) также на заброшенных советских "Луноходах". См. фото 1.

Планеты Солнечной системы, их спутники, кометы, астероиды и прочий мусор.
Расстояния до этих объектов можно измерить с хорошей точностью с помощью радиоволн. Берём радиотелескоп и посылаем радиосообщение к нужному нам объекту, принимаем отражённый сигнал, останавливаем секундомер. Есть время, есть скорость, легко посчитать расстояние. И не забываем, что ежесекундно расстояние между объектами Солнечной системы меняется!

Звёзды
На помощь нам приходят математика с геометрией. Есть такое явление под названием "параллакс". Говоря языком дилетанта, это видимое изменение положения одного тела на фоне другого, более далёкого.

Этот способ работает и с космическими объектами! Фото 2.

Они измерены астрономическими методами, в первую очередь - измерение углов, под которыми видны разные объекты.

Р - рулетка

С линейкой померяли...
https://ru.wikipedia.org/wiki/Астрофизика#Наблюдательная_астрофизика

Шагами промеряли какждый шаг длина волны видимого цвета

Они не стали известными "вдруг", их измерили) Методов несколько, некоторые известны с древности. Навскидку ссылка https://www.nkj.ru/archive/articles/32207/ ("Наука и жизнь" 1938 г., Измерение расстояний в мировом пространстве)

Примерно так же как летучая мышь определяет через сколько метров она в стену упрётся!

До Луны - сначала измерением параллакса, затем из законов Кеплера и измерения ускорения земного тяготения.
Ближайших звезд - из параллакса, далее - из
вики Диаграмма Герцшпрунга — Рассела
еще дальше - по зависимости период-светимость для Цефеид
... красному смещению.
особо любознательным
https://www.booksite.ru/localtxt/shk/lov/sky/star/shklovsky.pdf

Благодаря учёным и изобретениям специальным. Материал научный читай.

Вроде с помощью спектрального способа.

рассказать так просто у меня точно не получится.

но я могу показать ссылку на толкование этой темы.

если интересно, то ознакомься.

https://pikabu.ru/story/otkuda_myi_znaem_rasstoyanie_do_lunyi_planet_zvyozd_i_galaktik_6076758

Может меряли в котах 398км