В чём физический смысл спина, если говорят, что он не связан ни с движением частицы как целого, ни с её вращением?

физический смысл спины - начальству кланяться.

Магнитный момент, а не механический.

Последовательность рассуждений примерно такая, если без подробностей.
1) Симметрия порождает закон сохранения.
2) Симметрия "изотропности" пространства порождает симметрии относительно поворота.
3) Далее исследуется интеграл движения, порождённый этой симметрией.
4) Оказывается, что у этого интеграл есть два куска, но в классический момент импульса переходит только один из них. Второй, следовательно, оказывается чисто квантовый, и связан с симметрией поворота (но не с вращением).

Боюсь, это понимают толком несколько человек на планете.

Считай его "поляризацией".
... правая, левая.
А 1 - круговая. ..по часовой, против часовой.

Экспериментально установлено, что в квантовую ячейку может залезти только два электрона, но так как ячейка не амфора, значит электроны должны отличаться чем-то ещё. Вот и присвоили ему квантовое число. Кстати сказать, вся квантовая физика - бред сивой коровы. Но Вы можете почитать это, более понятное.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Обменное_взаимодействие

Из всех выше только Роман правильно сказал что это магнитный момент. В зависимости от спина, частицы отклоняются в противоположные стороны в магнитном поле, либо не отклоняются вообще. Парные частицы рождаются с противоположным спином, в итоге импульс Вселенной не меняется.
Слово spin не нужно понимать буквально. Этот термин появился раньше понимания сути явления. Так же, как и орбитали. И многое другое.

Физическмй смысл аддитивной сохраняющейся величины - в том, что она аддитивная и сохраняющаяся, эти свойства порождают алгоритм измерения величины, следовательно, делают её физической.
Ед. тонкость, связанная со спином - обычно спином называют спиновое число, чтоб измерять то, что реально измерить, а не какую-то неведомую фигню.

В этом смысле "особая форма момента импульса" совершенно аналогична особой форме энергии или, например, импульса. Не знаю, почему это люди так любят ломать о спин головы.

Кстати, если б не было сказано о "квантовой природе", то момент импульса ОТО-шнлй чернрй дыры тоже сгодился бы на то, чтобы считаться спином. В ней нет ничего такого механического, перемещение чего в пространстве можно обнаружить. Но вас же не смущает, что у ЧД. может быть ненулевой момент импульса.

полуцелое - значит 1\2 и\или -1\2, такая частица совершает два оборота, чтобы восстановить своё состояние. спин и есть словно некая ось вращения, но мы не знаем конкретно назначение этого.. это некое следование на основании наблюдаемых свойств. при этом, говоря "частица", мы лишь упрощаем это понимание, в реальной науке всё сложнее, там нет какой-либо "частицы"... больше похоже на энергию. А что такое материя, как не энергия? (E= mc^2). Всё сущее есть материальное. Но материальное является носителем информации. Информация - волна, энергия.

Метафорически?
Пожалуйста.
Представьте себе эскадрилью вертолетов, скажем, штук 10-50 машин, которая неподвижно зависла в воздухе и не летит по круговой траектории и не вращается вокруг своего центра масс. Вот у этой эскадрильи вертолетов будет обалденный механический момент вращения, хотя в целом она не вращается.
А теперь представьте себе предельный переход, когда вертолетов становится всё больше и больше, а их размеры всё меньше и меньше и расстояния между ними всё меньше и меньше.

Также и у элементарных частиц.
Никакого кругового потока массы вокруг оси электрона нет, но каждая точка электрона вращается.