в чем физический смысл волны, связанной с электроном?

Её "мощность" (то есть амплитуда волны возведенная в квадрат) показывает пространственную плотность вероятности обнаружить электрон в данной точке пространства.
Зная функциональную зависимость амплитуды этой волны от координат, можно посчитать, где вероятнее всего находится электрон.

По мнению большинства современных физиков, электронная волна – ничто иное, как волна вероятности обнаружения электрона в определенной точке пространства-времени. На способности электрона «прыгать» из одной точки своей волны в (любую) другую – или, возможно, существовать в разных точках одновременно – держится его способность связывать атомы в молекулы и формировать плотное вещество. Можно рассматривать электрон и. как своего рода виртуальную частицу, возникающую при взаимодействии одного электронного поля с другим. Идея рассматривать эту волну как вероятностную принадлежит, если не ошибаюсь, Максу Борну. Поначалу большинству его коллег концепция показалась безумной, в том числе Эйнштейну и Шрёдингеру, вывевшему уравнение этой волны. Эйнштейн сходил с ума в попытках разбить эту теорию вдребезги и доказать, что «Бог не играет в кости» ; в результате у него получилась концепция квантовой телепортации (которую сам Эйнштейн также счел слишком бредовой и приводил как аргумент несостоятельности квантовой теории) .

Надеюсь, меня кто-нибудь поправит, если я ошиблась. Это – слова дилетанта, большей частью основанные на Википедии и н/п литературе. Не судите строго...

Из википедии (Волны де Бройля)
Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью (скорости света) , импульс равен (где — масса частицы) , и . Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше масса частицы и её скорость. Например, частице с массой в 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует волна де Бройля с м, что лежит за пределами доступной наблюдению области. Поэтому волновые свойства несущественны в механике макроскопических тел. Для электронов же с энергиями от 1 эВ до 10 000 эВ длина волны де Бройля лежит в пределах от ~ 1 нм до 10−2 нм, то есть в интервале длин волн рентгеновского излучения. Поэтому волновые свойства электронов должны проявляться, например, при их рассеянии на тех же кристаллах, на которых наблюдается дифракция рентгеновских лучей. [1]
Первое подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году в опытах американских физиков К. Дэвиссона и Л. Джермера. Пучок электронов ускорялся в электрическом поле с разностью потенциалов 100—150 В (энергия таких электронов 100—150 эВ, что соответствует нм) и падал на кристалл никеля, играющий роль пространственной дифракционной решётки. Было установлено, что электроны дифрагируют на кристалле, причём именно так, как должно быть для волн, длина которых определяется соотношением де Бройля. [1]
Подтвержденная на опыте идея де Бройля о двойственной природе микрочастиц — корпускулярно-волновом дуализме — принципиально изменила представления об облике микромира. Поскольку всем микрообъектам (за ними сохраняется термин «частица» ) присущи и корпускулярные, и волновые свойства, то, очевидно, любую из этих «частиц» нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании. Возникла потребность в такой теории, в которой волновые и корпускулярные свойства материи выступали бы не как исключающие, а как взаимно дополняющие друг друга. В основу такой теории — волновой, или квантовой, механики — и легла концепция де Бройля. Это отражается даже в названии «волновая функция» для величины, описывающей в этой теории состояние системы. Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность состояния системы, и поэтому о волнах де Бройля часто говорят [3] как о волнах вероятности (точнее, амплитуд вероятности) . Для свободной частицы с точно заданным импульсом (и энергией ), движущейся вдоль оси, волновая функция имеет вид [1]:

где — время, .
В этом случае, то есть вероятность обнаружить частицу в любой точке одинакова.