Почему формула гидростатического давления - pogh? Почему при выводе этой формулы используется объем и площадь цилиндра?

Если давление P, то на площадь dS действует сила:
dF = - P dS n
(n - единичный вектор, направлена из тела перпендикулярно dS в данной точке)
Чтобы найти силу, действующую на всю поверхность тела, надо это дело проинтегрировать по всей поверхности. Затем можно применить теорему Остроградского-Гаусса. У вас получится интеграл уже по объему тела от:
- grad(P) dV
Теперь можно взять выражение для давления:
P = P0 - p g z
Посчитать градиент:
grad(P) = - p g ez
И подставить в подынтегральное выражение:
- grad(P) dV = p g dV ez
p, g во всех точках интегрирования одинаковы, поэтому интугралу будет на них плевать. Останется интеграл от объема dV по всему объему. ЭТо оъем. Получается:
F = p g V ez
независимо от формы или глубины погружения. Если хотите учесть зависисмость от форму тела, придется сделать то же самое, только точнее записать давление, с учетом сжимаемости (для "комнатных" - бессмысленно).

Возьмём расширяющуюся вниз коническую колбу. Удивительно, что давление на дне создаётся не весом жидкости, а силой, значительно большей, чем этот вес. Откуда дополнительная сила? Дело в том, что наклонные стенки тоже давят (см. закон Паскаля) на жидкость...

Там всегда цилиндр. Надо брать объем столба жидкости над дном. Это следует из закона Паскаля.
Гугли гидростатический парадокс.