Объясните, почему i ^ 0 = 1?

Как мнимое число может стать реальным???
Ну, вы бы поинтересовались для начала, как мнимые числа были введены. Была острая потребность в таких "нереальных" числах, которые в квадрате давали бы реальные.
i^2 = -1
i^4 = 1
i^6 = -1
...
i^0 = i^(1-1) = i/i = 1 или i^0 = i^(4-4) = 1/1 = 1

на самом деле слово "объяснить" здесь неуместно. такие вещи вводятся по определению, когда какая-то операция вводится на каком-то множестве.
ну а если очень хочется всё же, то... логарифмируем. произведение конечного числа на 0 будет ноль. потенцируем... годится "объяснение"?

При выполнении сочетательного свойства умножения значение выражения a*a*a*a*a*a*a*a не зависит от того, как вы в нем расставите скобки.
Полагаем, что для умножения выполняется сочетательное свойство (а для умножения комплексных чисел оно выполняется).

Поэтому a^n*a^m = a^(n + m) для любых натуральных m и n.
Логично обобщить это свойство и на неотрицетельные целые, откуда
(a^0)*(a^1) = a^(0 + 1) = a^1
Тогда a^0 - корень уравнения x*a = a и, аналогично, корень уравнения a*x = a.

Поэтому логично считать, что нулевая степень любого элемента моноида равна нейтральному, "единице" (который там имеется по определению), а комплексные числа по умножению образуют моноид.
Правда, значение выражения 0^0 традиционно (в большинстве учебников) считается неопределенным, но так сделали, исходя из свойств пределов.

PS. Про отрицательные степени я чисто для общности не стал ничего говорить, хотя мог бы и сказать тоже.
Мало ли, какую ещё экзотическую ерунду ты завтра в нулевую степень возвести захочешь.... Может, для этой ерунды отрицательная степень окажется не определена.

ну так матиматик придумал чисто по приколу