Пoчeму нeкoтopыe диффepeнциaльныe

Аналитических всм в виде формул? Тогда, вероятно, все, или многие. Просто эти формулки не попадают в класс элементарных функций и их композиций, а потому мы не можем с ними так вот свободно действовать. Приходится или в виде рядов их таскать, или просто как-то обозначать, и вытаскивать их свойства из самих уравнений, или пользоваться приближениями.

Хотя это немного из другой оперы, но когда для некоторой величины не становится возможным найти аналитическое выражение, вводят НОВУЮ функцию. Например, интеграла от функции sinх/х в аналитическом виде не существует. Поэтому ввели новую функцию, если не ошибаюсь, Si(x), которой дали обширную таблицу в подобие тригонометрических функций. И в этом ничего мудрёного нет: ведь если бы в своё время не ввели бы, например, тригонометрические функции, многие задачи нынче были бы "неразрешимыми" (в аналитическом виде).

А почему все уравнения должны иметь аналитическое решение? Аналитически мы можем даже не все числа записывать. Например иррациональные числа не имеют аналитической записи. Притом таких чисел намного больше, чем тех, что имеют аналитическую запись.

Если говорить примитивно, то изобрели дифференцирование и интегрирование потому что элементарных функций не хватало для описания нужных моделей.
Дифуры позволяют описать больше, чем элементарные функции, а значит в принципе не из них могут быть выражены через элементарные.
Оно не совсем так, но получается, в стремлении расширить способы и методы познания мира, человечество придумало новый метод, который в свою очередь перекрывал больше задач, чем могли решить элементарным способом.
Параллельно кстати, развились и методы практического применения таких уравнений.

Потому что решениями этих дифференциальных уравнений являются неаналитические функции.
Дело в том, что неаналитические функции тоже можно дифференцировать, а значит, записать дифференциальное уравнение, решением которого является неаналитическая функция.

P.S.
Функция является аналитической, если её можно представить в виде сходящегося бесконечного ряда со степенными членами.
Это неточное определение! Но оно передает суть понятия аналитичности.