Как вычислить эту сумму? Как она читается?

Сумма по i от 1 до n для суммы по j от 1 до n.
Если понимаете в программирование, то это записывается примерно так:

 $summe=0;

for($i=1;$i

сумма всех произведений ij в диаппазонах i и j от 1 до n.

Сначала вычисляется внутренняя сумма. Здесь j пробегает все значения от 1 до n и каждый раз это j подставляется в выражение ij, и все такие выражения складываются.
То есть, сначала берётся j = 1, подставляется в выражение, ставится знак +, берётся следующее значение j = 2, снова подставляется в выражение, снова ставится знак +, потом берётся j = 3 и так далее, вплоть до j = n.
Поэтому внутренняя сумма равна i + 2i + 3i + 4i + ... + ni. Здесь приводятся подобные: i(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n), что по формуле для суммы арифметической прогрессии равно in(n + 1)/2. При вычислении внутренней суммы зависимость от j исчезает, но остаётся зависимость от i.

Далее уже от этого выражения вычисляется внешняя сумма. То есть, берутся последовательно i = 1, i = 2, i = 3, i = 4 и т.д. вплоть до i = n и подставляются вместо i в полученное значение внутренней суммы in(n + 1)/2 и складываются. Это будет n(n + 1)/2 + 2n(n + 1)/2 + 3n(n + 1)/2 + 4n(n + 1)/2 + ... + n*n(n + 1)/2 и точно так же выносится общий множитель за знак суммы, и остаётся (n(n + 1)/2)(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n), в результате чего получается (n(n + 1)/2)(n(n + 1)/2) = (n(n + 1)/2)². Это окончательный ответ.

Читается данная сумма так. Сумма по i от 1 до n от суммы по j от 1 до n от ij.

Через photomatch