Как устанавливается родство современных и вымерших животных?(не писать,какая наука это изучает и т.п.)

По разному.
Без названия науки все равно не обойтись, поскольку у них различные методы.
Пелеонтологи выкапывают скелет зверюшки (окаменелость) реставрируют по окаменелости внешний вид животного его повадки, чем и как питался и вообще какой образ жизни вел. Зоологи сравнивают этот скелет с сушествующими животными и делают свои выводы. Затем в дело вступает сравнительная анатомия.
Поскольку от вымерших животных остаются только кости (в лучшем случае) а обычно вообще отпечатки, то все доказательства строится вокруг них. Иногда везет находят переходную форма.
К примеру, археоптерикс типичная переходная форма между птицами и ящерами - отпечатки перьев есть, с другой стороны клюва нет как у птиц. зато пасть зубастая и тело как у ящерицы. Чешуйки на ногах птиц по форме и строению точно такие же, как чешуи современных ящериц и змей и вымерших динозавров тоже, на этом основании и сделали вывод о родственности пресмыкающихся и птиц. Сравнение скелета передних конечностей различных позвоночных показывает их сходство в строении отделов скелета, костей и следовательно тоже дает возможность сделать вывод о родственности.
Еще одна наука - эмбриология, исследует зародыши живых существ. Ведь в процессе развития зародыши и личинки существ фактически повторяют эволюционный путь вида. На разных этапах развития зародыши похожи на своих предков. Скажем у зародыша человека в возрасте 3-х недель можно увидеть следы жаберных дуг, есть и хвост до определенного возраста. А уж головастики лягушек вообще явно показывают каким образом лягушка развивалась и каких таких хвостатых ее вымерших родственников искать.
А самый лучший способ определения родства это конечно по ДНК, но к сожалению ДНК не сохраняется в окаменелостях. Зато может сохраняться в вечной мерзлоте. Поскольку мамонт и слон родственники, вполне можно и восстановить мамонта, если выделить ДНК мамонта и внедрить в яйцеклетку слона. Сейчас японцвы и наши этим и занимаются.