Можно ли на квадроцикле ездить по асфальтированным проселочным дорогам?

если всё есть, регистрация с номерами, водительское, ОСАГО, то можно.

У просёлочных дорог отобрали статус дорог общего пользования?

Паспорт самоходной машины. Выдается при покупке квадроцикла. Важно: такой документ выдают не на всю технику. Например — если квадроцикл ввозился в РФ как сельхозтехника, и на него не платили утилизационный сбор на таможне — ПСМ на него будет отсутствовать.
Свидетельство о госрегистрации и номерной знак. Выдаются в Гостехнадзоре — там же, где и права на квадроцикл. Для получения нужно в течение 10 дней после покупки явиться в ближайшее отделение Гостехнадзора с ПСМ, договором купли-продажи, паспортом владельца, актом приема-передачи квадроцикла и сертификатом соответствия. Если не успеете зарегистрировать технику в 10-дневный срок, придется уплатить штраф 800 рублей.
Карта техосмотра. Не нужна, если квадроциклу еще не исполнилось 3 лет — до этого проходить техосмотры не надо. Если технике от 3 до 7 лет — техосмотр придется проходить раз в 2 года. Если квадроциклу больше 7 лет — техосмотр понадобится раз в год.
Страховка. Покупать ее можно на месяцы, в которые вы собираетесь ездить на квадроцикле по ДОП. Важно: некоторые страховые отказываются выдавать полисы на квадроциклы. В таком случае требуйте письменный отказ и подавайте жалобу в Российский союз автостраховщиков, или в ЦБ РФ.
Зеркала заднего вида и поворотники. Поворотники нужны не обязательно, по ПДД поворот можно показывать руками. Подведем итог
Для поездок по ДОП на квадроцикле вам нужны: ПСМ, свидетельство о регистрации, номерной знак, страховой полис, права тракториста категории АI, шлем и зеркала заднего вида, а лучше еще и поворотники. https://atvarmor.ru/article/mozhno-li-ezdit-na-kvadroczikle-po-dorogam-obshhego-polzovaniya

Конечно можно, это вам не видео игра где заканчивается текстуры, а реальная жизнь, но вы я смотрю хотите узнать юридические аспекты данного движения, по квадрикам нельзя ездить по общественным дорогам. То есть она только для бездорожья.