Когда и как нужно платить 13% с прибыли, при продаже акций?

Всё это делает брокер, вам ничего делать не нужно. 13% с прибыли будут оплачены при ВЫВОДЕ денег с брокерского счёта.

Вроде как, в начале года брокер списывает налоги за прошлый год (за некоторыми исключениями), если есть достаточное количество денег на брокерском счёте.
Если денег на брокерском счёте будет не достаточно для уплаты налога, то придётся самостоятельно платить этот налог (возможно, даже предварительно полав декларацию, но лучше уточнить этот момент).

Да, это автоматом при выводе денег на карту.

Брокер как налоговый агент в начале года (обычно в январе) рассчитывает налог за прошедший год и удерживает с брокерского счета если есть деньги, может даже удержать в маржу если есть такая возможность, в результате по счету может образоваться отрицательный остаток в рублях. Если в течение года выводишь деньги, то брокер рассчитывает налог и удерживает (замораживает) сумму налога из выводимой суммы для того чтобы оплатить налог за тебя по окончании года. Если при выводе была прибыль и удержана сумма для оплаты налога, а по итогам года оказался в убытках, или сумма налога за год оказалась меньше, чем была удержана, то излишне удержанный налог возвращается. Кроме того брокер направлеяет по тебе в налоговую 2-НДФЛ с информацией о доходе, который ты получил, исчисленном, удержанном и уплаченном налоге. Если по какой-то причине брокер не смог удержать и оплатить за тебя налог полностью, то на основании этой 2НДФЛ налог с тебя будет требовать уже налоговая. На сколько я помню срок подачи декларации до апреля, а оплаты налога до июля