Какая организация выдает права в США? Её название и есть ли там иерархия?

Department of Licensing.
Иерархия есть, как и везде.

DMV, естесна есть иерархия как и в любом госучреждении

Власти штата выдают их, а конкретно Department of Motor Vehicles (DMV) :)))

"В США" -- никакая. Водительские удостоверения выдают штаты. В каждом штате своя собственная форма водительского удостоверения и свои собственные номерные знаки. Типичное название конторы, которая занимается лицензированием водителей и регистрацией транспортных средств -- Департамент транспортных средств (Department of Motor Vehicles, DMV). Типичное -- потому что есть исключения. В Огайо, например, соответствующая контора называется Бюро моторных транспортных средств (Bureau of Motor Vehicles, BMV). В некоторых штатах (навскидку, Алабама и Арканзас) обязанности разделены -- водителей лицензирует одна контора (в Алабаме -- Driver License Division, в Арканзасе -- Office of Driver Services), а машины регистрирует другая (в Алабаме -- Vehicle Registration Office, в Арканзасе -- Office of Motor Vehicle).

Отдельно от всего этого существует система лицензирования водителей, находящихся на службе (как военной, так и гражданской) в правительстве США. Водительское удостоверение, выданное правительством США, дейстивительно только для управления автомобилем, имеющим номерные знаки одного из видов вооруженных сил или GSA (General Service Administration -- это контора, которая централизованно занимается автопарком, недвижимостью и тому подобным барахлом в порядке обеспечения деятельности учреждений правительства).

Отдельно вообще от всего в государственном департаменте есть служба иностранных миссий (Office of Foreign Missions, OFM), которая выдает водительские лицензии иностранным дипломатам и дипломатические номерные знаки дипломатическим миссиям.

В каждом штате своя.