Почему номера сотовых начинаются либо с +7, либо с 8. Откуда такая двойственность?

8 – это символ (сигнал) выхода на межгород в российской (советской) стационарной телефонной сети. Восемь импульсов (их в принципе можно "набрать" даже просто быстро нажав на рычаг 8 раз подряд, конечно при известной сноровке и импульсной, нецифровой, АТС) переключают систему в режим готовности к приему кода "межгорода".

+ – это символ из инструментария мобильных телефонов GSM, в "их мире" + означает что далее последует полный номер, начиная с кода страны, для России – 7.

На обычном, стационарном, телефоне + не набрать (например на дисковом:) , но главное даже не в этом, а в том что если его "набрать", то наша сеть "не поймет" что это такое.

Поскольку мобильные телефоны стандарта GSM распространились исключительно широко, то и запись телефонного номера "с плюсиком и семеркой" тоже стала как бы второй стандартной. При этом подразумевается что собственно набирать +7 нужно только на мобильном телефоне, при звонке с городского телефона вместо +7 надо набирать 8 и ждать гудка.

При этом с мобильного телефона можно набирать и так и так, потому что мобильная сеть GSM изначально цифровая и ее легко запрограммировать на разные способы набора. Раз в нашей городской сети пока не получается отказаться от восьмерки, то мобильные операторы просто "научили" свои сети понимать и восьмерку, чтобы людям не путаться (а им не лишаться поступлений).

+7 - это международный код России (США, например, +1), 8 - это выход на межгород в России.
Т. е. находясь вне России нужно набирать +7, а в России или 8 или +7.

не все у нас с 0 начинаются

Не все равно как набирать. +7 это код вашей страны. Из другой страны без +7 к вам не дозвонится никто.