Где Mozilla firefox сохраняет файлы просмотренные прям в нем

В системе у Вас должна быть включена опция "Показывать скрытые папки и файлы"
Проще воспользоваться ВОТ ЭТИМ сайтом. Многие его сейчас Вам приведут в качестве ответа. Но он не всегда нормально работает.
Идем по пути: диск C: - \Documents and Settings\ - имя пользователя (или admin) - \Local Settings\ - Application Data\ - Mozilla\ - Firefox\ - Profiles - uktaru42.defaut - Cache.
В этой последней папке Cache после просмотра ролика ищем самый большой по весу файл, копируем его и вручную приписываем расширение flv, если у него нет расширения (например, скопировали файл 36373п3FTYT656, отправляем его в любую папку и переименовываем так, чтобы было 36373п3FTYT656.flv
Чтобы быстро найти самый большой файл, нужно кликнуть мышкой по слову Размер на колонке сверху.
Название файла Вам ничего не скажет, но вот большой вес - это признак видеоролика:

После того, как Вы найдете нужный файл и убедитесь, что у него с расширением все в порядке, попробуйте его воспроизвести имеющимися на Вашем компьютере проигрывателями. Если ни один его не захочет проигрывать, то Вам придется скачать вот ЭТОТ плеер.

Прекрасно воспроизводит формат flv и Media Player Classic, входящий в известный пакет кодеков
Чтобы постоянно не преодолевать такой долгий путь к папке кэша, ее можно вывести на рабочий стол, и впоследствии заходить в нее за секунду.
А еще можно на Firefox поставить Вот ЭТО

в кеше -документы и настройки

Скачай и все делы

В кэше - как и все остальные браузеры.. . Только искать этот файл нужно во время работы плеера (поставь на паузу и дождись скачавания файла на 100%), или просто качнуть прогу - перехватчик он-лайн трансляций...