В подчинившимся стихии парусе не было спокойствия. В слове "подчинившимся" писать "ем" или "им"?

к какОМ = ом ем
в какИХ - их

Вот склонение по падежам и числам:
И. п. (кто, что? ) - подчинившИйся (ед. ч.) ; подчинившИеся (мн. ч. )
Р. п. (кого, чего? ) - подчинившЕгося; подчинившИхся
Д. п. (кому, чему? ) - подчинившЕмуся; подчинившИмся
В. п. (кого, что? ) - подчинившИйся; подчинившИеся
Т. п. (кем, чем? ) - подчинившЕмся (парусом) ; подчинившИмися (парусами)
П. п. (о ком, о чем; в ком, в чем? ) - в подчинившЕмся (парусе - Ваш случай) ; в подчинившИхся (парусах)
Итак, в единственном числе - везде Е, кроме именительного и винительного падежей; во множественном - везде И. Т. е. "подчинившЕмся" - творительный или предложный падеж единственного числа; "подчинившИмся" - дательный падеж множественного числа.
Как называется правило - увы, уже не помню, да, честно говоря, никогда особенно их и не учила: обычно чувствую, как правильно пишется, неправильно написанные слова просто "режут глаза".

Писать ЕМ. Почему не знаю, но ЕМ - точно.

Да на каком ресурсе? Правило из школьной программы про склонение имен прилагательных. Теоретически просто запоминается, какое окончание в каком падеже. Практически, подставляется вопрос. Если "какОМ? " , то окончание ОМ-ЕМ

В парусе (каком? ) подчинившЕМся. После шипящего -ЕМ.

Тупици пишут ЕМ!
А надо ИМ!
Надеюсь вы учились в школе и знаете!