Какой частью речи является слово "слыхать"? В одних источниках - наречие,в других -глагол. Напр. "Не слыхать кукушки.."

Ни в каких ИСТОЧНИКАХ не может утверждаться, что это наречие. Если на каком-то форуме кто-то так утверждает, то форум источником не является. Источники – это учебники, учебные сайты, лингвистические статьи, словари.

СЛЫХАТЬ – это глагол в своей начальной (неопределённой) форме, форме инфинитива, так как:
◆ на вопрос ЧТО ДЕЛАТЬ? отвечает;
◆ обозначает действие;
◆ имеет такие постоянные глагольные признаки: он невозвратный, несовершенного вида, переходный;
◆ в данном Вами односоставном предложении этот глагол (вместе с частицей НЕ) является сказуемым, при котором нет и не может быть подлежащего. Односоставные предложения со сказуемым, выраженным инфинитивом, в школах относят к безличным (8-й класс), а в вузах их называют инфинитивными.

Вместе с тем глагол СЛЫХАТЬ отличается от других глаголов. Отличия заключаются в том, что глагол СЛЫХАТЬ:
◆ не имеет форм настоящего и будущего времени (на отсутствие настоящего времени словари указывают, а о будущем помалкивают, но его тоже нет, так как мы не говорим буду слыхать, будешь слыхать и пр.);
◆ употребляется в форме инфинитива и формах прошедшего времени (слыхать – слыхал, слыхала, слыхало, слыхали);
◆ не спрягается, а потому не относится ни к одному из типов спряжения (это понятно из первых двух пунктов, ведь глаголы спрягаются только в настоящем и будущем времени).

Вот Вам источник:



http://gramota.ru/slovari/dic/?lop=x&bts=x&ro=x&zar=x&ag=x&ab=x&sin=x&lv=x&az=x&pe=x&word=слыхать

Упоминание о категории времени, помета «нсв» – несовершенный вид, указание форм прошедшего времени, полного причастия и его кратких форм – всё это говорить человеку, умеющему работать со словарями, что перед нами ГЛАГОЛ.

Далее. Обратите внимание на примеры в конце словарной статьи, один из которых даже по содержанию похож на Ваше предложение:

◆ <Слыхать, в функц. безл. сказ. Разг. =Слышно (II, 2 зн.). Что-то нынче птиц не слыхать. О матери пока ничего не слыхать.

Запись Разг. =Слышно (II, 2 зн.) означает, что глагол СЛЫХАТЬ употребляется В ЗНАЧЕНИИ «слышно», причём СЛЫШНО – это не наречие, а слово категории состояния (СКС). Именно рядом с СКС даётся в словарях помета «в функции сказуемого», как здесь, или предикат., предикатив в других словарях. Но это вовсе не значит, что СЛЫХАТЬ и СЛЫШНО – одно и то же. Это разные слова, относящиеся к разным частям речи. А запись означает, что в односоставных предложениях сказуемые СЛЫХАТЬ и СЛЫШНО синонимичны.

http://gramota.ru/slovari/dic/?lop=x&bts=x&ro=x&zar=x&ag=x&ab=x&sin=x&lv=x&az=x&pe=x&word=слышно – по этой ссылке можете ознакомиться с содержанием словарной статьи СЛЫШНО, только имейте в виду, что статья СЛЫХАТЬ отсылает нас ко второму омониму СЛЫШНО (он обозначен цифрой II), причём ко 2-му значению этого СКС.

Слыхали новость? --здесь глагол.

В данном примере - наречие.