чем отличается площадь от объема?

Площадь - произведение двух линейных величин. Объём - трёх.

"И терпентин на что-нибудь полезен! "
Козьма Прутков.

На школьном уровне это почти одно и то же - размерность разная.
Площадь и объем - численные характеристики фигур и тел соответственно.

Но, между плоскостью и пространством огромная разница.

В плоскости любое множество, равносоставленное кругу, имеет ту же площадь.

А в пространстве любые два ограниченных множества с непустой внутренностью являются равносоставленными :

Например, шар можно разбить на N частей, из которых можно составить два таких же шара.
Для шара достаточно 5 частей, 4-х не достаточно.

На плоскости возможны экзотические разбиения: круг можно разбить на конечное число частей и составить из них квадрат, РАВНОЙ площади.

Множества A и B равносоставленны, если их можно представить как конечное объединение непересекающихся подмножеств: A = U Ai; B = U Bi таких, что Ai ≃ Bi (равны).

Это как с женщиной: нравится объем - плати за площадь

Это прикол такой?
Это же во 2-3 классе проходят...

Хороший вопрос.
Кажущаяся элементарность может затенить важность этих понятий.

Для физики это некоторые характеристики или параметры моделей
физических тел. И есть приборы позволяющие измерять эти параметры.

Для математики это параметры позволяющие сортировать объекты.
Соответственно 2-х мерные и 3-х мерные. Можно было бы рассматривать и 1-о мерные. Кстати сами пространства 1-о, 2-х, 3-х мерные также являются
способами для сортировки объектов.

В геометрии (и не только) предложены алгоритмы для вычисления этих
параметров.

В общем смысл параметров сходный, а алгоритм вычислений разный.