Вычислить площадь фигуры

1)

 ∫(x^3)dx (от 0 до 5) = 1/4 * (5^4) = 156.25 

График - кубическая функция при x = 0 до 5, ищем площадь под ней (до оси абсцисс y = 0).
2)

 -∫(3x^2 - 3)dx (от -1 до 1) = -(1^3 - 3*1) + ((-1)^3 - 3*(-1)) = -1 + 3 - 1 + 3 = 4 

Ищем площадь куска параболы 3x^2-3 = 3(x^2-1) под осью абсцисс. Границы - точки пересечения оси, т.е. корни уравнения x^2 = 1, т.е. -1 и 1.
Интеграл берётся с минусом, т.к. фигура находится под осью абсцисс, и интеграл будет отрицательным.
3)

 ∫(3x - x^2)dx (от 0 до 3) = 3/2*3^2 - 1/3*3^3 = 27/2 - 9 = 9/2 = 4.5. 

Парабола и линейная функция пересекаются в двух точках: (0, 0) и (3, 9). При этом, парабола проходит ниже линейной функции на данном интервале. Поэтому линейную функцию берём в интеграле со знаком +, а параболу - со знаком -.
4)
Корни уравнения (x-1)^2-(5-2x) = x^2 - 4 = 0 - это 2 и -2, в точках (2, 1) и (-2, 9) пересекаются парабола и прямая, и парабола проходит ниже прямой, касаясь оси асбцисс в точке x = 1. Дальше прямая снижается, пересекая ось асбцисс в точке (2.5, 0). Поэтому, видимо, ищем площадь под кривой

 min((x-1)^2, 5-2x) на интервале x от 1 до 2.5 

Это можно разбить на 2 фигуры:

 первая - под (x-1)^2 с x от 1 до 2

вторая - под 5-2x с x от 2 до 2.5

∫((x-1)^2)dx (от 1 до 2) + ∫(5-2x)dx (от 2 до 2.5) =

= 1/3*x^3 - x^2 + x (от 1 до 2) + 5x - x^2 (от 2 до 2.5) =

= 1/3*2^3 - 2^2 + 2 - 1/3*1^3 + 1^2 - 1 + 5*2.5 - 2.5^2 - 5*2 + 2^2 =

= 8/3 - 4 + 2 - 1/3 + 1 - 1 + 12.5 - 6.25 - 10 + 4 =

= 7/3 + 6.25 - 8 = 7/12