Могут ли так поступить?

Им нужны сведения о регистрации Вас по другому адресу. Иначе Вас будут разыскивать через полицию.

Административный регламент предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по регистрационному учету граждан РФ по месту пребывания и по месту жительства в пределах РФ предусматривает процедуру выдачи дубликата свидетельства о регистрации по месту пребывания на случай его утери, но не предусматривает процедуры выдачи дубликата свидетельства о регистрации по месту жительства, формально такое свидетельство выдается только один раз, непосредственно при регистрации ребенка. При этом в соответствии с п. 156 указанного Регламента, в случае снятия с регистрационного учета лица, не достигшего 14-летнего возраста, в свидетельство о регистрации по месту жительства проставляется отметка о снятии с регистрационного учета по месту жительства.

Таким образом, свидетельство о регистрации по месту жительства независимо от даты выдачи, является достаточным подтверждением факта регистрации по месту жительства. Требования администрации школы предоставить дополнительное свидетельство необоснованны. Если вы предоставили в школу все необходимые документы, администрация школы обязана принять решение о зачислении в течение 7 дней, если соответствующий приказ не вышел и вы получили отказ, связанный с датой выдачи свидетельства, действия администрации школы вы можете обжаловать в прокуратуру или органы управления образования.

Еще один вариант, вы можете дополнительно к свидетельству о регистрации по месту жительства предоставить актуальную выписку из домовой книги, что также будет являться официальным документом, который содержит сведения о регистрации по месту жительства.

http://obrnadzor13.ru/ответы-на-часто-задаваемые-вопросы/

Да могут. Потому что если этой справки не будет их самих загребут. Так что нужно нести как можно раньше)