Не выполняя построений, найдите координаты точек пересечения параболы у=х2-36 и окружности х2+у2=36, как решать?

1. Сначала преобразуем второе выражение :
х2+у2=36
у2=36-х2
у = корень из (36-х2)

2. Чтобы найти координаты пересечения, нужно приравнять правые части выражений
х2-36 = корень из (36-х2)
Это иррациональное уравнение. Чтобы решить его, нужно возвести в квадрат обе части уравнения
(х2-36)2 = 36-х2
причем х2-36 ⩾ 0
x ⩾ 6 и х ⩽ -6. Следовательно, область определения: (-беск; -6] [6, +беск)

(х2-36)2 = 36-х2
х4 + 1296 - 72х2 - 36 + х2 = 0
х4 - 71х2 + 1260 = 0

Пусть х2=t, x4=t2

t2 - 71t + 1260 = 0
D= 5041 - 4*1260 = 1
t1 = (71+1)/2=36, t2 = (71-1)/2 =35

x2=36 x2=35
x=+-6
x=+-√35 - не входит в область определения

Чтобы найти координаты точек, нужно подставить значения Х в выражение и посчитать. Думаю, это не вызовет особых трудностей :)

1. у =х2 - 36, следовательно х2 - 36 - у = 0
2. х2 + у2 = 36, следовательно х2 + у2 - 36 =0
3. Из пункта 1 и 2 следует, что х2 - 36 - у = х2 + у2 - 36, следовательно у2 - у = 0, тогда у = 0 или у = 1.
4. Подставляем в первое или второе уравнение оба этих значения, следовательно при у = 0, х = 6 и -6, а при у = 1, х = корень из 35 и -корень из 35.
5. еще у нас есть область допустимых значений, где 36 - х2 >= 0, следовательно область определения [-6; 6].
6 Ответом являются точки: (-6; 0), (6; 0), (корень из 35; 1), (-корень из 35; 1)