На ЕГЭ по математике может попасться пример, где надо извлечь из корня число, которое не извлекается (без калькулятора)?

Наверное всё-таки будем корень из числа извлекать. Когда-то это делали в столбик.
Но на экзаменах таких чисел вообще не встретится. задачи всё-таки не полные идиоты придумывают, а что касается решений задач со страшными на первый взгляд цифрами, то как говорил один мой знакомый навигатор бортовому компьютеру, "не умеющие считать приблизительно долго не живут".
Вот например вроде сложная задача:
tg(2x)-tg(x)=sin(7pi - x)sin(7pi/6)
Но считаем приблизительно: выражение справа не может быть больше единицы, тем более что второй сомножитель точно не единица (можно найти сколько, но зачем?)
Нам известны значения тангенса для 30 и 60 градусов, откуда мы можем выяснить, что при х=30 градусов левая часть уравнения уже больше единицы. Точное значение опять неинтересно, зато ясно, что угол заведомо меньше 30 градусов.
Но при столь малых углах кривые синуса и тангенса можно считать прямыми, то есть tg(2x) примерно равен 2tg(x), откуда получаем, что tg(x)=sin(7pi - x)sin(7pi/6), или убрав лишние периоды
tg(x)=sin(x)sin(pi/6).
Очевидно, что это возможно только если х=0.
Попытка же решить точно приведёт к кубическому уравнению, на решение которого уйдёт куча времени, ой как важного на экзамене.

Конечно сообразить, что кривая тангенса всегда лежит выше кривой синуса и пересекаются они только в одной точке, ещё быстрее.

Конечно. Например табличное значение косинусу или синуса- какой нибудь" корень из трех деленное на два."