В каких кавычках пишут не правду? ("...") или («...» )

Безразницы.

В каких случаях нужны кавычки?

В современном русском языке кавычки выполняют следующие функции:

Выделение безабзацной прямой речи и цитат.
Выделение условных (собственных) наименований.
Выделение слов, которые употребляются в необычном, ироническом, особом значении.
Отдельные статьи «Письмовника» посвящены рисунку кавычек, оформлению цитат, употреблению кавычек в собственных наименованиях, употреблению кавычек в аббревиатурных названиях.

О кавычках при прямой речи см. в «Правилах русской орфографии и пунктуации».

Ниже будут рассмотрены особенности употребления кавычек при словах, используемых в необычном, ироническом, особом значении.

Кавычки при словах, употребляемых не в своем обычном значении

Кавычки при словах, употребляемых в необычном, особом, условном, ироническом значении, не только помогают автору текста обратить внимание читателя на то или иное слово или выражение, но и дают возможность использовать лексические единицы, принадлежащие к другому стилю, например употребить разговорное слово в публицистическом тексте (часто в таких случаях кавычки используются автором для «перестраховки»).

Первое, что необходимо отметить: кавычки при необычно употребляемых словах рассматриваются как факультативный знак (в отличие от обязательного употребления кавычек при собственных наименованиях и прямой речи).

«Справочник по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя указывает, что кавычками выделяются:

1) слова непривычные, малоупотребительные, на которые автор хочет обратить внимание;

2) слова, употребленные в особом, необычном значении;

3) слова, представляющие собой малоизвестные термины;

4) слова устарелые или, наоборот, совсем новые, если подчеркивается эта их особенность;

5) слова, употребленные в ироническом значении;

6) слова, употребленные в условном значении (применительно к ситуации или контексту).

Таким образом, один из основных критериев при употреблении кавычек рассматриваемого типа – «обычность/необычность», или, другими словами, «привычность/непривычность». Но разграничить «привычное» и «непривычное» значения слова зачастую очень трудно: во-первых, для этого необходимо обладать высокоразвитым языковым чутьем, а во-вторых, нередко возникают случаи, когда «привычное» для одного носителя языка является «непривычным» для другого. Наконец, «непривычное» значение слова с течением времени может становиться «привычным». Именно поэтому постановка кавычек при необычно употребляемых словах вызывает столько вопросов.

Чем же все-таки руководствоваться при ответе на вопрос о постановке кавычек? Вот два нехитрых правила:

ориентироваться на словарные статьи в толковых словарях русского языка: если слово (словосочетание) в них уже зафиксировано, следовательно, значение не является непривычным и кавычки не нужны;
учитывать стиль текста, в котором встречаются подобные лексические единицы. Безусловно, наиболее часто их можно встретить в газетных и журнальных текстах, но при этом в «серьезных» СМИ, предлагающих читателям материалы на общественно-политические и социально значимые темы, постановка кавычек при необычно употребляемых словах более уместна, чем, например, в газетах и журналах, ориентированных на молодежную аудиторию и пишущих на «легкие» темы, поскольку при употреблении слова в «непривычном» значении оно чаще имеет разговорную или просторечную окраску.
Слова и словосочетания, не требующие выделения кавычками

В списке представлены слова и словосочетания, о целесообразности постановки кавычек при которых часто спрашивают посетители «Справочного бюро» «Грамоты. ру».

http://new.gramota.ru/spravka/letters/53-kav1

Пишут второе название, которое может быть неправдой и сарказмом.