Докажите тождества, используя только определения операций над множествами. (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C).

Для доказательства этого тождества мы должны показать, что любой элемент, принадлежащий левой стороне равенства, также принадлежит правой стороне, и наоборот, любой элемент, принадлежащий правой стороне, также принадлежит левой стороне.

Пусть (x, y) принадлежит (A \ B) × C. Это означает, что x принадлежит множеству A \ B, а y принадлежит множеству C. Согласно определению разности множеств, x принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B. Следовательно, (x, y) также принадлежит множеству A × C. Однако, по определению разности множеств, (x, y) не принадлежит множеству B × C. Таким образом, мы показали, что любой элемент левой стороны принадлежит правой стороне.

Теперь рассмотрим элемент (x, y), принадлежащий (A × C) \ (B × C). Это означает, что x принадлежит множеству A и y принадлежит множеству C, но (x, y) не принадлежит множеству B × C. По определению декартова произведения, элемент (x, y) принадлежит множеству (A \ B) × C, если x принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B. Таким образом, мы показали, что любой элемент правой стороны принадлежит левой стороне.

Итак, мы доказали, что любой элемент, принадлежащий левой стороне тождества, также принадлежит правой стороне, и наоборот, любой элемент, принадлежащий правой стороне, также принадлежит левой стороне. Следовательно, (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C).

100$