2 курс колледжа, вопрос по дискретной математике

Отношение ρ задано на множестве Z.
x ρ y ⇔ 5 | (x – y)

Рефлексивность: Для того, чтобы отношение было рефлексивным, каждый элемент должен быть в отношении с самим собой. В данном случае, мы должны проверить, что для любого x ∈ Z, x ρ x. Это означает, что 5 | (x - x), что всегда является истиной. Следовательно, отношение является рефлексивным.

Симметричность: Для того, чтобы отношение было симметричным, если x находится в отношении с y, то y также находится в отношении с x. В данном случае, если 5 | (x - y), то также 5 | (y - x), потому что если (x - y) делится на 5, то (y - x) делится на -5 (и наоборот). Следовательно, отношение является симметричным.

Антисимметричность: Для того, чтобы отношение было антисимметричным, если x находится в отношении с y и y находится в отношении с x, то x = y. В данном случае, если 5 | (x - y) и 5 | (y - x), то это означает, что x - y и y - x должны делиться на 5. Так как эти разности могут быть равными только 0, то x = y. Следовательно, отношение является антисимметричным.

Транзитивность: Для того, чтобы отношение было транзитивным, если x находится в отношении с y и y находится в отношении с z, то x также должен быть в отношении с z. В данном случае, если 5 | (x - y) и 5 | (y - z), то 5 | (x - z), потому что (x - y) + (y - z) = x - z. Следовательно, отношение является транзитивным.



Поправка:
Данное бинарное отношение обладает следующими свойствами:

Рефлексивность: для любого x из множества Z, x ρ x. Действительно, (x - x) = 0, и 5 | 0, что означает, что x ρ x.

Антисимметричность: для любых x и y из множества Z, если x ρ y и y ρ x, то x = y. Действительно, если 5 | (x - y) и 5 | (y - x), то из этого следует, что 5 | ((x - y) + (y - x)) = 5 | 0, что означает, что x - y = y - x = 0, то есть x = y.

Транзитивность: для любых x, y и z из множества Z, если x ρ y и y ρ z, то x ρ z. Действительно, если 5 | (x - y) и 5 | (y - z), то 5 | ((x - y) + (y - z)) = 5 | (x - z), что означает, что x ρ z.

Несимметричность: данное бинарное отношение не является симметричным, так как если 5 | (x - y), то не обязательно 5 | (y - x). Например, если x = 7 и y = 2, то 5 | (x - y) (5 | 5), но 5 не делит (y - x) (-5).

Итак, отношение ρ на множестве Z является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, но не является симметричным.