Кто мне развернуто расскажет, что такое халатное отношение, и почему именно халатное?

Халат не всегда является приличной одеждой, например может выражать пренебрежительное отношение к гостям. Отсюда пошло халатное (пренебрежительное) отношение к чему либо. Примерно так рассказывал нам в школе практикант по литературе, увлекающийся филолог.

Халатный - смысл тот же, что спустя рукава.

Халатное отношение - безответственность, приводящая к негативным последствиям в результате какой-либо деятельности.

С середины XIX в. у прилагательного "халатный" появляется переносное качественное значение: "небрежно-безразличный и недобросовестный, неряшливо-нерадивый" (к работе, к выполнению обязанностей).
Семантическая эволюция имени прилагательного халатный началась в 30-40-е гг. XIX в. До этого времени в дворянской культуре халат лишь воспевался, например, И. М. Долгоруковым, П. А. Вяземским как символ русского барства с его ленью и небрежной распущенностью. Халат был типичной домашней одеждой помещика и чиновника, в которую они были облачены большую часть дня. Мелкие же чиновники, подьячие, мещане и семинаристы считали халат своим парадным, выходным одеянием. Характерно в фельетоне славянофила И. С. Аксакова ("Письма в редакцию "Дня", 1863) такое рассуждение о типах старых и новых петербургских тайных советников Российской империи: "Разница между ними та, что у "старых" из-под мундира виден — халат, и хотя халат вещь вовсе некрасивая и в некотором роде даже неприличная, но, право, глаз, утомленный блеском шитья и пуговиц или однообразным цветом мундирного платья, не без удовольствия отдыхает на пестрой ткани халата! Халат — это ведь эмблема лени, бесцеремонности, простоты, — это все же, сравнительно с форменными чувствами, нечто сердечное и человечное. У "молодых" нет ничего, кроме вицмундира — сшитого, конечно, у лучшего французского портного... не только не видать халата, но, кажется, сама голландская рубашка глядит вицмундиром... " (Аксаков, Славянофильство и западничество, с. 118-119). Слова "халатный", "халатность" еще в 80-90-х гг. XIX в. воспринимались консервативными, пуристически настроенными кругами общества как неологизмы, как новообразования.
Затем Гоголь в "Мёртвых душах" добавил слову значение "распущенный, лениво-недобросовестный". Тогда же было образовано слово халатность. Например, В. П. Боткин писал А. А. Фету (28 августа 1862): "Да и нравится нам во французском образовании то, что составляет дурные его стороны, именно распущенность его, халатность... " (Фет, Воспоминания, ч. 1, с. 402).