Можно ли выписать из квартиры и прописать по новому адресу ребенка 14 лет, по свидетельству о рождении?

Нафиг тебе такие сложности, получайте спокойно паспорт и одновременно делайте туда прописку, всё в мфц можно сделать

По логике вещей - нет паспорта - никаких юридически значимых действий сделать невозможно, личность не удостоверена. Ни "выписать", ни "прописать".
Но на практике очень много парадоксов.
Сначала я обратилась бы в опеку, написала бы заявление, совместно с ребенком, приложила бы договор о покупке квартиры и свидетельство о рождении, и пришла бы на прием к специалисту вместе с ребенком.
Потом написать соответствующие заявления и подать их в МФЦ. Бланки они там на месте дают. Тоже совместно с ребенком.
Хлопотные дела, но ничего не поделаешь. Можно и электронно обращаться, через госуслуги, но лучше личной явкой.
Дело в том, что существуют административные регламенты предоставления госуслуги, там чокнешься разбираться во всех механизмах. И как их будут применять - непредсказуемо.

Без паспорта и покупка может не состояться. Особенно если ребенку доля в этой квартире полагается.
Паспорт надо делать СРОЧНО!!! Практически вчера!!!

На сколько знаю, ребёнок почти "автоматом" прописывается с матерью.

Сейчас не знаю, но раньше (когда я это делала), только с разрешения опеки....

Ребенку исполнилось 14 лет, на следующий день после дня рождения, свидетельство о рождении больше не является действительным, то есть перестает удостоверять личность.
На подачу документов для получения паспорта у вас 30 дней.
Источник: http://youpassport.ru/rf/poluchenie-v14-let.php

В прошлом году получали паспорт, ребенок был в отъезде на момент день рождения и приехал только через месяц, в УФМС звонила сказали что ничего страшного, мы обычно не штрафуем тех кто первые раз получает, если конечно не в 15 лет пришли. Если покупка квартиры не затянется то можно отложить на месяц другой больше бы я не стала...

обратиться в паспортный стол не вариант?