Подскажите, Можно ли в первом классе писать ручкой, которая со специальной стёркой текст быстро и незаметно стирает?

Дома однозначно можно. В классе - зависит от учителя. У моей строго потребовали ручки определенной марки с резиновым ограничителем

Умным, мудрым и толковым (пусть и в будущем) - нельзя.
В первом классе цена ошибки ОЧЕНЬ маленькая. Привыкшие "замазывать" заканчивают обучение, и часто, СОВЕРШЕННО ВНЕЗАПНО, в 25-30 лет, узнают, что некоторые ошибки "замазать" не получится, и прийдётся отвечать. Иногда - жизнью.
Поэтому вариант с ошибками в первом классе, с наказанием за них, со связанным с наказанием - желанием НЕ ДОПУСКАТЬ ОШИБКИ ВООБЩЕ, а не совершенствовать методы и способы "замазывания" - люди вырастают намного толковее и полезнее.
Из замазывателей вырастают прокакиватели и воры. Из старающихся, у`чащихся - создатели, строители, хозяева. В основном. Конечно бывают исключения, но редкие.

Штурманов самолётов учат НИКОГДА не пользоваться резинками с самых первых занятий. Резинка допустима только при прокладке нового курса по объективным причинам. Штурман ошибся - он и экипаж - покойники.
Электриков, нормальных, тоже учат жёстко. Ударами (током, палкой, прутом) при каждой ошибке. В результате через 10 лет процент выживших и безаварийных работающих электриков, из "битых" при обучении, на 60% выше, чем среди "небитых".
Школа - место получения не оценок, а знаний, навыков и умений. Подмажете, подотрёте - и не узнаете, что ддитё малоразумным выросло.

Не запрещено, значит разрешено, мой сын пользовался такой . Правда на тестах запрещали пользоваться гелевой ручкой .

Если школу рассматривать как наказание и экзамен, то конечно, еще и домашние задания за него делайте. А если использовать школу как машину образования и обучения, то зачем?
Оценки в аттестате всё равно ни на что не влияют, а вот уровень образования, знания, умения и навыки, точнее их отсутствие, часто бросаются в глаза.

А зачем? Какая цель в первом классе? Научиться писать, научиться аккуратности? Или цель - создание документа без ошибок? И попутно убеждение ребёнка в том, что стараться не обязательно, и так сойдёт?
От целей зависит и используемый инструмент.

А кто запретит?

пишите если учительница не запретит можно писать