Объясните, пожалуйста, чем отличается кассация от апелляции?

Апелляция подается на решение МИРОВОГО судьи, кассация - на решения городского суда, принятые по первой инстанции. В Вашем лучае подается кассационная жалоба.
ГПК Статья 320. Право апелляционного обжалования

1. Решения мировых судей могут быть обжалованы в апелляционном порядке сторонами и другими лицами, участвующими в деле, в соответствующий районный суд через мирового судью.
Статья 336. Право подачи кассационных жалобы, представления

На решения всех судов в Российской Федерации, принятые по первой инстанции, за исключением решений мировых судей, сторонами и другими лицами, участвующими в деле, может быть подана кассационная жалоба, а прокурором, участвующим в деле, может быть принесено кассационное представление.
Статья 337. Порядок подачи кассационных жалобы, представления

1. Не вступившие в законную силу решения суда первой инстанции могут быть обжалованы в кассационном порядке:
1) решения районных судов, решения гарнизонных военных судов - соответственно в верховный суд республики, краевой, областной суд, суд города федерального значения, суд автономной области, суд автономного округа, окружной (флотский) военный суд;
2. Кассационные жалоба, представление подаются через суд, принявший решение.

Вам не нужны подробности.
Все решения и приговоры Мирового суда, решения Арбитражного суда, принятые по первой инстанции обжалуются в аппеляционном порядке.
Решения других судов общей юрисдикции (начиная с районного) , пинятые по первой инстанции, обжалуются в кассационном порядке.
Кроме названия, эти жалобы больше ничем не отличаются.

В каждом суде она своя. Так после рассмотрения спора в мировом суде, решение можно оспорить в апелляционной инстанции, которой будет федеральный суд того же территориального деления. После рассмотрения спора в арбитражном суде 1 инстанции, решение можно оспорить в апелляционной инстанции того же арбитражного суда.
Да, еще, решение апелляционной инстанции судом общей юрисдикции может рассматриваться как акт кассационной инстанции и его можно оспорить только в надзорном порядке. Решение федерального суда оспариваются в кассационном порядке в судебной коллегии вышестоящего суда. В арбитражном суде пересмотр определений апелляционной инстанции рассматривается в кассационной инстанции вышестоящего арбитражного суда федерального округа, на которые территориально поделена наша страна согласно АПК РФ.

ОТВЕТ НА ТВОЙ КОМЕНТ: Если можно расскажите, пожалуйста, по-подробнее и немного попроще.
Например, я подал иск в районный суд. Решение меня не удовлетворило, что я должен подать - апелляцию или кассационную жалобу. И куда я должен это подать?

Кассационную жалобу ты должен подать в этот же суд на решение которое они вынесли, а потом суд твою кас жалобу с делом направит в Верховный суд!! !

если очень коротко и в общих чертах, то в апелляции обжалуются решения, не вступившие в законную силу, а в кассации те, кот. уже встурили в силу - либо, когда срок на обжалование в апел. порядке прошел и Вы не обжаловали реш. 1 инстанции, либо реш. апел. суда вступило в зак. силу.