Если мать, имеющаярегистрацию в квартире по месту пребывания зарегистрирует в ней своего ребенка, легко ли его будет потом

Согласно п. 1 ст. 20 ГК РФ, местом жительства гражданина признается место, где он постоянно или преимущественно проживает.
При этом само вселение является двусторонней сделкой.
Исходя из указанного следует, что в тот момент, когда Вы написали заявление о регистрации по Вашему месту жительства стороннего человека, Вы совершили сделку направленную на вселение данного лица к вам в квартиру. Необходимо отметить, что данная сделка ограничена определенным временем, а по прошествии времени указанного в заявлении, сделка прекращает свое действие и как следствие лицо подлежит выселению в связи с утратой права пользования, а как последствие выселения лицо подлежит снятию с регистрационного учета по месту пребывания.
При этом, согласно п. 2 ст. 20 ГК РФ, место жительство несовершеннолетних детей определяется по месту жительства родителей (аналогичная норма закона так же указана и в Семейном кодексе РФ) .
Исходя из всего указанного, следует, что коль родитель утратил свое право на проживание, такое право утрачивает и его несовершеннолетний ребенок и подлежит выселению по месту жительства родителя.

По месту пребывания - значит, временная регистрация, которая просто заканчивается по истечении срока регистрации

могут до 18 лет оставить

Если квартира муниципальная, практически невозможно, в собственности -можно но, чтобы дать точный ответ надо больше информации ( у кого зарегистрированы, временая или постоянная регистрация....

ребенок регистрируется ТОЛЬКО на период временной регистрации матери
закончится срок - закончится регистрация матери и ребенка

ну да... конечно.... Вы это вопрос уже вентилировали несколько месяцев назад.... неужели все никак не найдется добрая душа, которая Вас зарегистрирует хотя бы временно?
Ваш способ обеспечения жильем ребенка не сработает.... Предлагаю более надежный-выходите замуж за лоха, добиваетесь усыновления им вашего ребёнка, добиваетесь регистрации ребёнка на его жилплощади, а потом и дарственной на него. Думаете не реально? Их больше чем Вы можете себе представить.

согласно полностью со Светлячком.... если у ребенка нет постоянной прописки то до 18 лет может быть регистрация

возможно возникнут проблемы, т. к. при выписке главное, чтобы новые условия для проживания ребенка были не хуже старых