Моей доче 13 лет и у неё есть загран паспорт мы хотим с ней выехать в Китай на 10 дней ;Нужно ли согласие мамы на выезд?

Обязательно, и ещё согласно письма УПС ФСБ России и таможенное руководство, в разрешении (а именно так называется данный документ выдаваемый нотариусом) должна быть указана страна выезда и конкретные сроки поездки (с какого по какое число) плюс минус 2-3 дня. Разрешения с бессрочными датами и с указанием стран типа -весь мир, с декабря не прокатывают!
А по поводу пропавшей мамы, то подаёте заявление в милицию на розыск, а потом в суд, о признании её безвести пропавшей, можете как раз в иске или отдельно запросить у суда разрешение на выезд с вами дочки пока с мамой вопрос не разрешится.
Ну или ищите знакомого нотариуса и делайте липовое разрешение!
Моя бывшая так и поступала!
И не забудте ребёнку паспорт заграничный ребёнку сделать.

как всегда бредятина в России, нет ни одного федерального закона, согласно которого требуется такое согласие, но согласно каких то Инструкций, не понятно кем созданных. могут придраться на таможне, и пока будете доказывать. что они верблюды и не знают законы, самолет улетит, а поезд уедет, так что получается что в ваших интересах получить это незаконное согласие.

Да нужно согласие матери нотариально заверенное и если требует консульство то ещё и апостилированое.

конечно.. . нотариально завереное

по закону достаточно разрешения одного из родителей, т. к вы таковым являетесь то этого вполне достаточно, ну а практика какова, это вы нам расскажите после поездки

Мамы да. Нотариально заверенные. Иначе не выпустят.
P.S. Прошляпил, что Вы и есть отец :)

Да, без согласия мамы, будет считаться, что вы похитили ребенка. Вас не выпустят из страны.

обязательно