ФМС или Налоговая?

Все зависит от целей Вашего обращения. Если цель: чтобы он платил налоги за свою деятельность, то это весьма проблематично, ибо получить доказательную базу о получении ими средств за оказанные услуги в интернете практически невозможно в силу отсутствия законодательной базы по виртуальной сфере деятельности и технических возможностей налоговых органов. Если же цель Вашего обращения-проверка законности нахождения на территории РФ, то Вам необходимо обратиться в любой правоохранительный орган (в первую очередь к участковому уполномоченному) , в том числе и в ФМС.

Успокойтесь и живите своей жизнью, а не жизнью какого-то гражданина Украины, пусть он даже и обещал на Вас жениться, а потом бросил.
Никто его проверять не будет, хоть обжалуйтесь. Достаточно ему будет сказать (думаю вот кому он и что именно должен объяснять) , что он получает доход не на территориии РФ, то и ФМС и ФНС не смогут ничего с ним сделать.

иностранные граждане могут еще работать по патенту, но только у частных лиц. можете попросить показать патент и проверить данные по номеру патента на сайте УФМС. при оформлении патента авансом выплачивается госпошлина на все время действия патента в которую входит фиксированный налог. если у него есть легальный патент, он имеет полное право работать у частных лиц.

И туда и туда. Лучше в фмс т. к. если у него нет разрешения то и лицензию на предпринимательство у него точно нет.