А свидетельство об установлении отцовства выдается на основании чего?! Или с устных слов просто?

Сейчас 21 век, анализа ДНК будет достаточно для подтверждения отцовства и получения судебного решения о внесении записи об отцовстве органами ЗАГСа, где и выдадут свидетельство. Свидетели нужны в суде только, чтобы подтвердить наличие отношений между матерью и отцом ребенка для принятия решения судом об анализе ДНК

по совместному заявлению отца и матери в ЗАГСе
или
по решению суда

Свидетельство об установлении отцовства выдаётся органом записи актов гражданского состояния на основании записи акта об установлении отцовства.

Основанием для государственной регистрации установления отцовства является:

совместное заявление об установлении отцовства отца и матери ребенка, не состоящих между собой в браке на момент рождения ребенка;

заявление об установлении отцовства отца ребенка, не состоящего в браке с матерью ребенка на момент рождения ребенка, в случаях, предусмотренных пунктом 1 статьи 51 Федерального закона об актах гражданского состояния;

решение суда об установлении отцовства или об установлении факта признания отцовства, вступившее в законную силу.

В статье 48 Семейного кодекса РФ закреплена презумпция (законное предположение), что отцом ребёнка, рождённого в браке, а также в течение 300 дней после смерти супруга матери ребёнка, расторжения их брака или признания его недействительным (если не доказано иное), является супруг (или бывший супруг) матери. Поэтому женщина, состоящая в браке, при регистрации ребёнка не должна представлять какие-либо доказательства происхождения ребёнка от мужа. Для этого ей достаточно предъявить свидетельство о браке (расторжении брака или смерти). Сложнее процедура установления отцовства мужчины, не состоящего с матерью ребёнка в законном браке. Мать ребёнка и мужчина, считающий себя его отцом, подают совместное заявление об этом в органы ЗАГС. По общему правилу для добровольного признания мужчиной своего отцовства требуется согласие матери ребёнка. Если мать отказывается подать совместное заявление с отцом ребёнка, он вправе требовать установления отцовства в судебном порядке. Не допускается установление отцовства по заявлению гражданина, признанного в судебном порядке недееспособным, вследствие душевной болезни или слабоумия, а также по заявлению его опекуна.
Если в свидетельстве о рождении ребёнка уже есть запись об отце, сделанная на основании свидетельства о браке или свидетельства об установлении отцовства, то орган ЗАГС не вправе принимать заявление об установлении отцовства. В этом случае нужно оспаривать отцовство.

Думаю на основании постановления суда после, того как проведена генетическая экспертиза.