Какие документы нужны для регистрации в Москве?

Правила регистрации в РФ везде одни и те же, они описаны подробно в Административном регламенте о регистрации граждан
http://www.rg.ru/2008/01/23/fms-reglament-dok.html

Настоятельно рекомендую прочесть, а не слушать кто что скажет, поскольку имено этим регламентов обязаны руководствоваться должностные лица, ответственные за регистрацию.

Если конкретно по вопросу, то нужно решить, это у бабушки будет место жительства (ставится штамп в паспорте, срок не указывается) или место пребывания (выдается отдельная бумажка со сроком "до.. ") :
16. Для регистрации по месту пребывания гражданин представляет лицам, ответственным за регистрацию:

документ, удостоверяющий личность;

заявление о регистрации по месту пребывания по форме N 1 (приложение N 1 к Регламенту) ;

документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина по указанному адресу (договор найма (поднайма) , заявление лица, предоставившего гражданину жилое помещение) .

17. Для регистрации по месту жительства гражданин представляет лицам, ответственным за регистрацию:

документ, удостоверяющий личность;

заявление о регистрации по месту жительства по форме N 6 (приложение N 6 к Регламенту) ;

документ, являющийся основанием для вселения в жилое помещение (заявление лица (лиц) , предоставившего гражданину жилое помещение, договор, свидетельство о государственной регистрации права (права собственности на жилое помещение) , решение суда о признании права пользования жилым помещением либо иной документ или его надлежащим образом заверенная копия, подтверждающие наличие права пользования жилым помещением) . Для регистрации достаточно представления одного из перечисленных документов.

Граждане, снявшиеся с регистрационного учета по месту жительства до прибытия к новому месту жительства, представляют адресный листок убытия по форме N 7 (приложение N 7 к Регламенту) , выданный уполномоченным органом по прежнему месту жительства25.

ваш паспорт

паспорт и ваше гражданство