Для восстановления утерянного свидетельства о рождении обращаться в ЗАГС по месту прописки или проживания?

Обратитесь по месту проживания, они сделают запрос в тот ЗАГС, который вам выдал свидетельство, и выдадут дубликат.

Статья 9. Повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния и иные документы, подтверждающие наличие или отсутствие факта государственной регистрации акта гражданского состояния
(в ред. Федерального "закона" от 12.11.2012 N 183-ФЗ)
(см. текст в предыдущей "редакции")

1. В случае утраты, порчи, в других случаях отсутствия возможности использования свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния, в том числе ветхости бланка свидетельства, нечитаемости текста и (или) печати органа записи актов гражданского состояния, ламинирования, орган записи актов гражданского состояния, в котором хранится первый экземпляр записи акта гражданского состояния, выдает повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния, а в случаях, предусмотренных настоящим Федеральным законом, другими федеральными законами, иной документ, подтверждающий факт государственной регистрации акта гражданского состояния.

4. Лицу, обратившемуся в орган записи актов гражданского состояния лично, повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния или иной документ, подтверждающий наличие либо отсутствие факта государственной регистрации акта гражданского состояния, выдается в день обращения.
(в ред. Федерального "закона" от 12.11.2012 N 183-ФЗ)
(см. текст в предыдущей "редакции")
В случае, если запрос в письменной форме направляется в орган записи актов гражданского состояния посредством почтовой связи либо в форме электронного документа с использованием информационно-телекоммуникационных сетей, в том числе сети "Интернет" (включая федеральную государственную информационную систему - единый портал государственных и муниципальных услуг (далее - единый портал государственных и муниципальных услуг), повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния или иной документ, подтверждающий наличие либо отсутствие факта государственной регистрации акта гражданского состояния, направляется в орган записи актов гражданского состояния по месту жительства или пребывания лица, направившего данный запрос, с уведомлением такого лица о пересылке соответствующего документа. Повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния или иной документ, подтверждающий наличие либо отсутствие факта государственной регистрации акта гражданского состояния, выдается заявителю органом записи актов гражданского состояния по месту жительства или пребывания лица, направившего данный запрос.
(в ред. Федеральных законов от 12.11.2012 "N 183-ФЗ", от 31.12.2014 "N 517-ФЗ")
(см. текст в предыдущей "редакции")
Поданный в форме электронного документа запрос о выдаче повторного свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния или иного документа, подтверждающего наличие либо отсутствие факта государственной регистрации акта гражданского состояния, подписывается простой электронной подписью заявителя.

может и там и там. Без разницы, добьётесь дубликата

По месту выдачи свидетельства

По месту фактического проживания...

прописки