Ситуация такая! Салон красоты!

Если салон реализует такую услугу, он должен предоставить мастера, который это делает. Перечень услуг должен быть доступен клиентам. Салон мог сказать - у нас нет такой услуги, есть другие. В этом случае либо салон теряет клиента и цацкается с капризной своей сотрудницей, либо оказывает услугу клиенту, и решает вопрос - как может использовать сотрудницу с такими ограничениями по поведению, нужна ли она в этом салоне, надлежащим ли образом выполняет свои обязанности.
Вообще приверженцы разных религий свою необразованность и дикость выдают за религиозность и соблюдение традиций. В православии такое поведение трактуется, как гордыня, и осуждается.
Ислам похожим образом регламентирует поведение женщин и мужчин, как там кого когда трогать. На мой взгляд - глупости. Как и традиционное ношение женских головных уборов - в пустыне, в песчаных бурях оправдано закрывать лицо, а не в цивилизованных городских условиях, где лицу ничто не угрожает. Нет, ведь вырядятся, как пугала огородные, и идут, довольные собой - мы традиции соблюдаем! Мы правильные! Глупость - соблюдать традиции не в том месте, где они оправданы. Так, чукчи ездят на санях с шестом по тундре - если они в городе по автостраде вздумают на санях с шестом ехать, потому что духи так велят - глупость.
Вам могли предоставить мастера-мужчину, который сделает коррекцию формы бровей, и кому религия это не запрещает. Или мастера-даму, не страдающую религиозной дуростью.
Или, да ради Бога, пусть они всем салоном там соблюдают религиозные традиции и будут довольны собой, только клиенты к ним не пойдут и денежки свои не понесут, чем жить-то этот салон будет, чем зарабатывать. Если обычная хозяйственная деятельность идет вразрез с религиозными убеждениями. Если религиозные убеждения препятствуют вести свою деятельность. Надо выбирать )

Ислам запрещает женщине прикасаться к постороннему мужчине

Ну дык зачем ты в мусульманский салон красоты с мастерами-бабами решил записаться?
Иди в обычный.
Но если это в обычном такая фигня, то стоит подумать в принципе о посещении этого салона. Клиент им деньги несёт за ОБЫЧНУЮ процедуру, а они там ещё мурлом крутят. Это всё равно что в супермаркете отказываться продавать хлеб мужчинам, потому что она мусульманка и папенька запрещает.
Бред сивой кобылы законом не регламентируется.

Странно.

Ответ очевиден: мусульманство.

Я бы такую шарагу стороной обходила. Я клиент и я плачу за услугу, а не за капризы мастера. Плевать на исповидания, принцыпы или интересы, если ты работаешь с людьми и есть четкая установка оказываемой услуги. P. S. работаю в сфере обслуживания и знаю о чем говорю.