Детектив А закончил дежурство, оделся, и нaчал спускаться по лифту из здания. В это время детектив Б зашёл в здание...

1 - русский язык. По лифту не спускаются. Если "по", тогда по шахте лифта. Лифт - транспортное средство и либо в нём, либо на нём. То есть "в лифте" или "на лифе"
2 - пост это место и пост сдают и принимают на месте словами "пост сдал" и "пост принял"
3 - дежурство сдают, передавая текущие дела, вводя в курс происходящего по службе.
Это о технике и порядке несения службы.
Гораздо хуже если преступление совершено на меже участков и труп лежит ногами на территории одного участка, а головой на территории другого участка. В этом случае не понятно как определить какой участок должен расследовать преступление - тот на территории которого стоял ногами труп при жизни и считать, что преступление совершено на этой территории или тот на территории которого находится голова трупа так как голова является главным идентификатором трупа.
По Вашему вопросу - формально выезжает тот, который несёт службу пока не сдал дежурство, но чисто по человечески можно тут же передать дежурство по несению службы, смениться на посту "пост сдал/пост принял" и начать выполнять служебные обязанности. И ещё - если НИКОГО не было в кабинете - кто принял звонок? Если звонок принял дежурный по участку, то есть время сдать/принять смену. Если позвонили на мобилу, тогда ехать тому, кому позвонили.
Варианты таки есть!

ДТП с наездом на пешехода.
Лейтенант диктует протокол, сержант пишет:
- Тело трупа находится на проезжей части дороги. Записал?
- Да, товарищ лейтенант.
- Голова трупа находится на тротуаре. Записал?
- Товарищ лейтенант, а как правильно писать "тратуар" или "тротуар"
Лейтенант задумался, потом ногой сталкивает голову трупа на проезжую часть
- Пиши - тоже находится на проезжей части дороги...

Оказывается из любой ситуации можно найти достойный выход.

Тот кто ушёл не дождавшись сменщика - будет наказан. Его дежурство заканчивается не по часам - а с момента сдачи поста сменщику.

Так пост не сдают, через лестницу. Либо 1 опоздал, либо 2 рано ушел.

Бэ
Вариант Бэ
Наберите в ютубе "вариант Бэ" :-):-):-):-)