Какие обычаи при захоронении

Соболезную вам. Главное не класть своих вещей и людей, которые еще живы. Вообще лучше уточнить у служителей церкви, мечети (хотя маловероятно, так как речь идет про гроб, а не саваны) , сенагоги. Просто даже иконы вынимают перед тем, как захоранивают. Подушечка - если вам легче будет, то наверное можно поменять, но ту которую намочило, оставьте там же.

С покойным в гроб лучше вообще ничего не класть. Но если хотите, то можете самые личные вещи. Любимый носовой платок, портсигар например. Можете записку от себя с пожеланиями. Подушечку можно поменять, если дождь и мокрая. Ткань на гробе лучше не трогать. Зеркала в доме завесить, чтобы душа покойного не застряла в доме. Желательно ещё покойного за ноги подержать. Потом бояться не будете. Это примета такая. А так существуют сотни различных способов и обычаев. Зависит от вероисповедания и некоторых других обстоятельств.

Кладут мелочь в карман, или просто в гроб.
Цветы живые из гроба вынимают перед тем, как забить.
Если покойный был крещен, в церкви заказывают службу, светят немного земли и покупают специальную ленточку с молитвой, которую кладут на лоб покойного. На поминках около фотографии покойного с черной траурной ленточкой ставят стакан с водкой и кусочек хлеба. Этот стакан обычно стоит до 9 дней.
Про зеркала тут писали.
На кладбище возьмите ножнички, надо будет освободить руки.
Сигареты класть в карман ни к чему. Можно оставить их на могиле.
Подушку тоже менять не обязательно. Можно прикрыть от дождя, если дождь сильный, то долго прощаться никто не будет.
Ткань порвалась - ничего страшного, гвоздями захватят.
Захватите конфеты на кладбище - раздайте всем.