Какого размера искать картинку в интернете для баннера 3 метра на 1,5?

3000х2000 в вашем случае дадут 25 dpi, этого считается недостаточно даже для уличных банеров. Если исходить из 100 dpi, то вам нужно искать такую картинку:

О это трудно.

Пиксели на мониторе ты видешь в режиме 96 точек на дюйм.
Если перевести в "точки на миллиметр" получим 96точек/25,4мм = 3.78 точек на миллиметр (37.8 т/см).

То есть 3.78 пикселя на один миллиметр.

Однако - это на мониторе изображение делается как 96 пикселей на дюйм.

А на принтере при распечатке используется 600 dpi, а не 96, то есть 600 пикселей на дюйм. Нужно как-то расчитать сколько теперь будет пикселей на миллиметр, узнав сколько 600 пикселей (или точек, одно и тоже) на дюйм будет в миллиметраже.
А потом посчитать сколько пикселей будет ширина и высота. Однако мне в Paint.NET легче это узнать, я ему ввожу, она переводит в пиксели

Смотря, с какого расстояния будут на него смотреть. Скажем, на стандартном для чтения книги расстоянии, считается, что человеческий глаз различает до 10 линий на миллиметр, или до 254 на дюйм. Это плотность, при которой большинство людей не увидят пиксели, или еще какие-то искажения изображения. Разумеется, для баннера такое расстояние излишне мало, и разрешение картинки потребовалось бы дикое. А Вам нужно прикинуть расстояние, как изменится требуемая плотность, и вычислить разрешение. По своему опыту - получится "чем больше, тем лучше", и все равно в сети такие картинки будет найти если не нереально, то очень трудно. Дело упрощается, если Вашу картинку можно нарисовать векторной графикой - тогда любое растяжение/сжатие не будет играть столь губительной роли, как в случае растрового изображения.
В общем, ответ зависит от нескольких факторов.