Что нужно знать программисту

пока не страшно, но дальше надо иметь ввиду. На такие вопросы давно есть ответы. Если не понял, даже не старайся

Математика, информатика, физика, английский. И русский не помешает, по нему обязательный экзамен сдавать
Остальное зависит от области работы. Будешь работать с химиками - понадобится химия (хотя бы примерно понимать что пишешь), в турагенстве каком-нибудь программистом - география, и т. д.

английский язык и физкультура.
а математика сама приложится - в мозгу за всякие точные науки отвечает примерно одна и та же область, так что у программистов с математикой обычно порядок без дополнительных усилий.

Лучше самому. Но это в случае наличия мозгов. Если их нет, то и институт не поможет

Самый обязательный навык, который вам надо прокачать - это логика. Как бы банально не звучало, программисты постоянно решают задачи, у которых есть свои подходы и решения. Тем самым, чем больше у Вас будет прокачана логика, тем более гибкие, надежные и правильные решения вы сможете выдавать. В жизни вы можете проверить свою логику, задавая простейшие вопросы: "Если бы мне одному надо было передвинуть холодильник, как бы я это сделал?", "Как починить что-то? (не разбираясь в этом)". Даже ответ на свой вопрос вы бы сами нашли уже. Если говорить кратко: то вы должны понимать направление и решение любой проблемы, даже если вы не знаете как это сделать. P.S. ну и самый главный вопрос как прокачать логику. Игры, Судоку, шахматы, решение повседневных дел. Ну и пытаться делать, то что вы раньше не делали.

математика (нужная при анализе алгоритмов), информатика

Математику надо знать что бы программировать. Думаю, лучше пойти в вуз

Языки программирования, английский