Delphi, вроде легкое дело, а что то я туплю

на самом деле проще, так как свойство Lines имеет тип TStrings, то можно вызвать все содержимое разом в виде одной строки и сразу прменить Pos.
то есть
..
uses
SysUtils, Classes;
..
function find_str( const SubStr: String; const List: TStrings ) : Integer;
var
P : Integer;
I : Integer;
begin
{изначально строка не обнаружена}
Result := -1;
{определяете позицию в стринглисте как в строке}
P := Pos( SubStr, List.Text );
{вычисляете строчку}
for I := 0 to ( List.Count - 1 ) do begin
{вычитаем длину строки листа из позиции в листе разложенном в строку}
Dec( P, Length( List[ I ] ) );
{позиция находится в строке в том случае, если вычитание ее длинны привело к отрицательному результату декремента}
if ( P <= 0 ) then begin
Result := I;
Exit;
end;
end;
end;
Однако так вы найдете только однократное вхождение, чтобы найти все вхождения нужно развить предыдущую функцию, указав начальный элемент и данную функцию в цикле до тех пор, пока все строки не будут осмотрены.
function FindStrInList( const SubStr: String; const List: TStrings; var StartPos: Integer ) : Integer;
var
P : Integer;
C : Integer;
Str : String;
I : Integer;
begin
Result := -1;
C := Length( List.Text ) - StartPos;
if ( C <= 0 ) then Exit;
Str := Copy( List.Text, StartPos, C );
P := Pos( SubStr, Str );
for I := 0 to ( List.Count - 1 ) do begin
if ( C > 0 ) then
Dec( C, Length( List[ I ] ) )
else
Dec( P, Length( List[ I ] ) )

if ( ( P + C ) <= 0 ) then begin
Result := I;
StartPos := P + Length( SubStr ) - 1;
Exit;
end;

end;
end;

{На самом деле не так уж важно, как вы получите какой нибудь объект TStrings и какую-нибудь строку для поиска, может быть это будут поля класса}
procedure MainProc ( const SubStr: String; const List: TStrings );
var
P : Integer;
SP : Integer;
begin
{начинаем поиск от начала строки}
P := 0;
repeate
{ вызываем поиск пока находятся подстроки}
SP := FindStrInList( SubStr, List, P );
if ( SP > 0 ) then
SomeOut( SP );//Какой-нибудь вывод результата
until ( SP > 0 );
end;

Я, конечно понимаю, что Вы бы хотели видеть в ответе сразу готовый код :) но это ж надо сидеть, писать, думать. А нужно этио все таки Вам :) поэтому только мысль -

Берете первую строку листбокса и в цикле начинаете ее посимвольное сравнение на вхождение заданного слова. При нахождении такого вхождения (совпадения) заносите в какой нибудь счетчик позицию (номер данной строки лист бокса)
И так продолжается до конца списка листбокса.

Затем из счетчика выводятся те строки в которых найдено вхождение.

program Project2;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses
SysUtils,Classes ;

procedure Find(List:TStringList; vol:String);
var I:integer;
Begin
for I := 0 to List.Count - 1 do
if Pos(vol,list.Strings) <> 0 then
Writeln('Index to list = ',i);
End;

Var
strin:TStringList;
begin
try
strin:=TStringList.Create;
strin.Add('a');
strin.Add('s');
strin.Add('a');
strin.Add('s');
strin.Add('a');
strin.Add('s');

Find(strin,'a');
Readln;
except
on E:Exception do
Writeln(E.Classname, ': ', E.Message);
end;
end.