Должна ли женщина

Подавать руку женщина не должна. Это её личное желание. И если ей мужчина руку протянул, она может и не ответить взаимным рукопожатием, если ей этого не хочется. Руку всегда должна подавать первой женщина. А здороваться словами приветствия должен первым мужчина.

Должна. Главное - ладонью вниз. Не перепутать!

должна, конечно....

Конечно нужно ответить.
Я по работе всегда жму руку при встрече, при прощании - нет, но если подают - то конечно.

при прощании мужчина должен должен принять руку женщины, но не жать её как мужику.

Абсолютно согласен с Василисой!
По этикету руку подавать может только женщина, тогда мужчина должен ответить. Кроме того, руку подает старший младшему, начальник подчиненному и т. п. , т. е. высший по статусу низшему по статусу (заметьте, женщина является высшей по статусу, по отношению к мужчине, если она, конечно.. . женщина, а не так себе...) . А слова приветствия первым должно говорить лицо низшее по статусу. Опять же, подавать руку тоже нужно при определенных условиях. Все в этикете описано. Что касается исключений из вышеописанных правил - когда люди длительное время находятся в близких (приятельских) отношениях и всегда подают друг другу руку, не возбраняется, если и лицо, низшее по статусу, первым подаст руку, поскольку известно, что рукопожатие все-равно произойдет.
Опять же, рукопожатие между мужчинами должно быть не вялым, а крепким, но не слишком (довольно глупо выглядит человек, бравирующий при рукопожатии свой физической силой, это говорит о недостатке его ума) . Жать руку женщине с силой - верх бестактности. Мужчина этого сделать не может. Только мужик без мозгов. Я так думаю.. . :))
А вообще, приятно, что есть еще люди, которых интересует этикет. Может, в России не все так плохо. Просто всякая шваль лезет на глаза, а культурные люди потому и культурные, что никому не мешают. Вот их и не видно.