Как думаете, изменятся ли мои прочие взаимоотношения с начальником, если я на работу приду с котом?

Не знаем.
У меня была такая работа интересная...
Сама начальница держала дома несколько собак. И часто с ними приходила на работу, то с одним псом, то с другим. Но и сотрудникам тоже не запрещала, условия работы позволяли... Как ни странно, но сотрудники тоже подобрались все сплошь "собачники", и часто приходили на работу с питомцами. Это было "золотое время". У меня на работе тусовались и дети, и собаки, и прочие домочадцы. =)))
На другой работе я работала с начальником, который был "кошатником"... Кошки в его кабинете были везде... на картинах, на пано, на кружках, куча всяких кошачьих статуэток, брелоков... Чего только у него не было с изображением кошек! Но дома у него жило разное зверьё... собака, кот, кролик, черепаха...
Вы заранее узнайте эту тему... Некоторые люди терпеть не могут и просто на дух не переносят животных. Но некоторые к ним вполне дружелюбны и лояльны. Так что, если Вы придёте со своим котом, а Ваш начальник "кошатник", то, думаю, он будет в полном восторге! Но если он терпеть не может животных, то отношения могут и испортиться, резко и в крайнюю степень непонимания!

и он нагадит в его тапки)) сто процентов

Если он сам кошатник - могут и улучшиться.

Если у него аллергия на шерсть, то да.

С котом в мешке)

Лишь бы не с мужем и детьми.

Прочие и прочь! , однако, один корень имеют.

только если голая с котом придёшь)

Ну смотря какой начальник :) Либо писдюлей словесно даст либо у вас завяжется дружба :)