помогите с математикой, пожалуйста (см. внутри)

И самый простой способ:
Рассмотрим сумму четырех чисел: первого, второго, предпоследнего и последнего – эта сумма равна нулю. Точно также сокращаются все остальные "симметричные" четверки, поскольку первая пара из любой такой четверки дает +2 а вторая –2. В результате остается единственное число из ряда: 51

У нас две арифметические прогрессии:
1;5;9....101-25 членов и
-99;-95...-3-24 член
S=(a1+an)n/2
S1=(101+1)*25/2=51*25=1275
S2=(-99-3)*24/2= -102*12= -1224
S=S1+S2=1275-1224=51
Можно другим способом.
Две соседние пары в сумме дают 2, всего пар -25 и остается 1, тогда:
S=2*25+1=51

Для начала можно заметить, что числа, оканчивающиеся на одну и ту же цифру, чередуются знаком через десяток. То есть, например 101, 81, 61 - с плюсом, а -91, -71, -51 - с минусом.
Сочетаем их следующим образом:
(101-51) + (-99+49) + (97-47) + .(53-3) +1.
Если присмотреться, каждая пара скобок в сумме даёт ноль (50-50). Для предпоследнего слагаемого отрицательного "напарника" не нашлось, оно равно 50, да ещё осталась единица в конце.
Итого: 51.

Можно было посчитать ещё так. Каждые два по порядку идущих числа, если начинать отсчёт сначала, дают в сумме двойку. Числа здесь от 1 до 101, чётных нет, всего - 51. (их 50 в промежутке от 1 до 100 и ещё 101). Из 51 чисел можно сделать 25 пар и ещё останется единица в конце. См. выше и видим, что сумма пар - 2, умножаем 2 на 25 и прибавляем единицу. Ответ - 51.