Высшая математика

1) Можно решить 2 способами.
а) Если Вы знаете правило Лопиталя, то решаем так:
Видим, что при х=3 получается неопределенность вида 0/0.
Необходимо найти производные от числителя и знаменателя, получится:
lim (2*x - 5) / (2*x - 8) = (2*3 - 5) / (2*3 - 8) = 1/(-2) = -0.5.
б) Разложим выражение в числителе и знаменателе на множители, получим:
(x^2 - 5*x + 6) / (x^2 - 8*x+15) = (x - 3)*(x - 2) / ((x - 3)*(x - 5)) = (x - 2) / (x - 5).
lim (x - 2) / (x - 5) = (3 - 2) / (3 - 5) = -1/2.

2) Ничего не напутали с корнем или лишним х?

3) Перепутали индекс и степень? Если "да", то та же ситуация, что и в первом примере.
а) Видим, что при х=1 получается неопределенность вида 0/0.
Необходимо найти производные от числителя и знаменателя, получится:
lim (2*x + 2) / (2*x) = (2*1+2) / (2*1) = 2.
б) Разложим выражение в числителе и знаменателе на множители, получим:
(x^2 + 2*x - 3) / (x^2 - 1) = (x - 1)*(x + 3) / ((x - 1)*(x + 1)) = (x + 3) / (x + 1)
lim (x + 3) / (x + 1) = (1 + 3) / (1 + 1) = 4 / 2 = 2.

4) Домножим и разделим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю и знаменателю, то есть на
sqrt(1 + 2*x) + 3 и sqrt(x) + 2 (Здесь и далее sqrt - это квадратный корень) . Получим,
(sqrt(1 + 2*x) - 3)*(sqrt(1 + 2*x) + 3)*(sqrt(x) + 2) / ((sqrt(x) - 2)*(sqrt(x) + 2)*(sqrt(1 + 2*x) + 3)) =
= (1+ 2x - 9)*(sqrt(x) + 2) / ((x - 4)*(sqrt(1 + 2*x) + 3)) = 2*(x - 4)*(sqrt(x) + 2) / ((x - 4)*(sqrt(1 + 2*x) + 3)) =
= 2*(sqrt(x) + 2) / (sqrt(1 + 2*x) + 3).
lim 2*(sqrt(x) + 2) / (sqrt(1 + 2*x) + 3) = 2*(2 + 2) / (3 + 3) = 8 / 6 = 4 / 3.