высшая математика найти площадь фигуры. ограниченной зданными кривыми: y=ln(x+6) y=3lnx x=0 y=0

Сначала построй графики ТРЁХ функций
Затем найди точки пересечения ПОПАРНО
1) Для этого надо решить уравнение ln(x+6) =3lnx
x в кубе = х + 6
2 в кубе = 2 + 6
х = 2

2) ln(x+6) = 0
х+6 = 1
х=-5

3) 3lnx = 0
х = 1

Имеем два интервала: х от 0 до 1 и х от 1 до 2
В первом интервале у нас верхней функцией будет y=ln(x+6) а нижней y=0
Во втором - верхней будет y=ln(x+6) а нижней y=3lnx

Ищем площадь как сумму двух площадей
S1 = интеграл от 0 до 1 под интегралом ln(x+6)
S2 = интеграл от 1 до 2 под интегралом ln(x+6) - 3lnx

Вот и всё. График построишь сама. Интегралы табличные

Найдем точки пересечения графиков функций у = ln(x + 6) и у = 3lnx, решив уравнение: ln(x + 6) = 3lnx, в котором, учитывая ограничение х > 0, находим: х + 6 = x^3, x^3 - x - 6 = 0, x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + 3x - 6 = 0, x^2(x - 2) + 2x(x - 2) + 3(x - 2) = 0, (x - 2)(x^2 + 2x + 3) = 0. Уравнение распадается на два уравнения: 1) х - 2 = 0, 2) х^2 + 2x + 3 = 0. Только первое уравнение имеет действительное решение: х = 2, удовлетворяющее ограничению х > 0. Найдем координату у этой точки из уравнения у = ln(x + 6), где при х = 2 имеем: у = ln(2 + 6), y = ln8. График функции у = ln(x + 6) при х > 0 принимает положительные значения. Графок функции у = 3lnx пересекает ось Ох в точке (1; 0). Исходя из этих рассуждений, Находим площадь фигуры S как сумму площадей фигур между линиями у = ln(x + 6), у = 0, х = 0, х = 1 с площадью S1 и между линиями y = ln(x + 6), y = 3lnx, x = 1, x = 2 с площадью S2: S = S1 + S2, S = интеграл от 0 до 1 от ln(х + 6) по dx + интеграл от 1 до 2 от ln(х + 6) - 3lnx по dx, S = (x + 6)ln(x + 6) - x - 6 от 0 до 1 + (x + 6)ln(x + 6) - x - 6 - 3(xlnx - x) от 1 до 2, S = (1 + 6)ln(1 + 6) - 1 - 6 + (2 + 6)ln(2 + 6) - 2 - 6 - 3(2ln2 - 2) - (1 + 6)ln(1 + 6) + 1 + 6 +3(1ln1 - 1), S = 8ln8 - 8 - 6lb2 + 6 - 3, S = 8ln8 - 6ln2 - 5. Ответ: 8ln8 - 6ln2 - 5.