вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=16/(x^2) и y=17-x^2

График примерно такой


Искомая площадь фигуры это разность площадей двух фигур, расположенных под параболой у=17-х² и осью Ох и гиперболой 16/х² и осью Ох, в силу симметричности обеих функций вычисляем площадь половины фигуры для x>0, а затем удваиваем её. Пределы интегрирования по х это абсциссы точек пересечения двух кривых:
17-x²=16/x² → 17x²-x^4=16 → x^4-17x²+16=0 → x1=±4; x2=±1.

Тогда получим:

S=2•[от 1 до 4] ∫(17-x²-16/x²)dx =2•(17x-x³/3+16/x)[от 1 до 4]=
=2•(17•4-64/3+4-17+1/3-16)=2•18=36.

График симметричный относительно ОУ, поэтому найдём правую часть и затем умножим на 2.

Площадь это интеграл, для его нахождения надо обозначить пределы интегрирования, для этого приравниваем правые части обоих уравнений (16/(x^2)=17-x^2), решаем уравнение 4-й степени, получаем 4 корня: -4, -1, 1, 4 - в этих иксах графики пересекаются, образуя 2 симметричные фигуры, одну из которых мы ищем.
Стало быть пределы интегрирования - от 1 до 4. Интегрируем оба уравнения, получаем площади ограниченные осью ОХ, единицей, четвёркой и одним из графиков. Затем вычитаем одну площадь из другой и берём по модулю (если минус - отбрасываем) - получаем площадь, ограниченную графиками.

интеграл (16/(x^2)) = - 16 / x | черта, снизу 1, сверху 4
интеграл (17-x^2)=17x - (x^3)/3 | черта, тоже самое.

-16/4 + 16 = 12 (площадь между ОХ и первым)
(17*4 - (4^3)/3) - (17 - (1^3)/3) = 68 - 64/3 - 17 + 1/3 = 68 - 21 - 17 = 30 (площадь между ОХ и вторым)

Вычитаем из большего меньшее, получаем 18.
Ответ - площадь равна 18 единицам.