Дайте задачу на тему Всемирное тяготение?

Что стало бы с Солнечной системой, если бы масса Солнца мгновенно уменьшилась вдвое?

Солнечная система разрушится. Планеты улетят от Солнца по параболам, поскольку скорость их движения по первоначальным (круговым) орбитам в точности равна параболической скорости при уменьшенной вдвое массе центрального тела. Возможно, Солнце сохранит Меркурий, Марс и Плутон. Однако если бы эта катастрофа случилась с Солнцем в течение нескольких ближайших лет (чего определенно не произойдет) , то Плутон тоже наверняка был бы потерян -- он сейчас находится близ перигелия своей заметно некруговой орбиты. А про Марс и про Меркурий заранее сказать что-то трудно. Все будет зависеть от их положения на орбитах в тот момент, когда Солнце "похудеет". Если они окажутся близ афелиев, то сохранятся около Солнца, если же будут близ перигелиев, то улетят от него навсегда.

Как изменилась бы орбита Земли, если бы масса Солнца внезапно удвоилась?

В момент внезапного увеличения массы Солнца Земля начинает испытывать вдвое большую, чем прежде, силу притяжения со стороны Солнца. Следовательно, она перейдет с круговой орбиты на эллиптическую, целиком лежащую внутри прежней орбиты (см. рис. на следующей странице) . Таким образом, в момент схода с круговой орбиты Земля будет находиться в афелии своей новой эллиптической орбиты.

Интегралы энергии, описывающие движение Земли в поле центрального тела с массами, равными M и 2M, имеют соответственно следующий вид:
displaymath3929
где a -- первоначальное и tex2html_wrap_inline3933 -- новое значение большой полуоси орбиты Земли (после того как масса Солнца внезапно увеличилась вдвое) . Сравнивая эти два выражения между собой, находим, что tex2html_wrap_inline3935.

Найдем период обращения Земли по новой орбите. По третьему закону Кеплера имеем
displaymath3937
откуда
displaymath3939

Эксцентриситет новой орбиты найдем из соотношения a = a'(1+e'), откуда e'=0.5.
fig_twice_massive_sun