Почему пишется безЫнтересно?

потому что приставка БЕЗ-
1. После приставок, оканчивающихся на гласный, в корне, который начинается с и, пишется буква и (в соответствии с произношением) : играть — заиграть, искать —поискать.

2. После русских приставок, оканчивающихся на согласный (об-, под-, раз-, без-, над-, пред-, с-, из- и др. ) и в корне слова переходит в ы (в соответствии с произношением) : играть — обыграть, искать — разыскать, идейный — безыдейный, история — предыстория и др.

Исключениями являются приставки меж- и сверх-, после которых в корне пишется и: межинститутский, сверхизысканный.

3. После иноязычных приставок, оканчивающихся на согласный (дез-, пан-, пост-, контр-, суб-, супер-, транс) , буква и в корне сохраняется: дезинформация, контригра.

4. И сохраняется также в сложных словах: двухигольчатый, спортинвентарь
сыграл
разыграл
отыменный
межинститутский
контринтервенция

таковы правила русского языка

как впрочем и безЫскусственный и безЫнициативный

после приставок всегда пишется Ы, кроме приставки сверх-

Потому что <без> - русскоязычная приставка.

Буква Ы пишется:
1. После всех русских приставок, оканчивающихся на согласный, кроме МЕЖ- и СВЕРХ- (предыстория, розыгрыш...) .
2. В приставке ИЗ-, если она идет после другой приставки, оканчивающейся на согласный (небезызлишне, сызмала, сызнова) .
В слове ВЗИМАТЬ пишется И! Но: изымать, подымать.. . Если имеется наащение приставки за счет Н, пишется И (снимать, отнимать, поднимать)

безинтересно

если корень слова начинается на и а приставка перед ним заканчивается на согласную то буква и меняется на ы

саер