Зачем в тригонометрич.уравнениях и т.д. прибавляют pik, 2pik и т.д.? Что вообще означает и зачем нужен коэффициент k?

Для этого надо представить себе хотя бы функцию y=sin x
Это периодическая функция и она пересекает ось много раз. Как записать ответ?
Она пересекает ось в 0, pi, 2pi, 3pi и т.. д. В отрицательную сторону -так же. Т. е. период - pi. и Точек пересечения - бесконечное количество.

Вот и ответ будет x= +-pi k, где к= 0, 1, 2, 3, ..т.. е. натуральное чисто
а где эта функция равна 1?
в pi/2, 3pi/2, 5/pi/2 ...-pi/2, -3pi/2, - 5/pi/2 ...
Тогда и ответ будет +-pi/2 + 2pi

Это для понимания, зачем вообще нужны эти pi k. Как правило в формулах уже написано, что должно pi k или 2 pi k.

Но теперь представим, что у нас не y=sin x, а y=sin(2x). У неё волны в 2 раза уже, значит и корни в 2 раза чаще.
Но мы просто пользуемся той же формулой, просто вместо х ставим 2х, т. е. 2x= +-pi k, где к= 0, 1, 2, 3, ..А теперь делим на 2 и получаем ответ x= +-pi/2 k, где к= 0, 1, 2, 3, ..

Если там будет не 2х, а 3х, 4х, 0,5х - никакой разницы. Делается аналогично.

Надо писать правильно 2(пи) , (пи) это 180 градусов в других мерах измерения ( не градусная).

Если посторить синусоиду и косинусоиду можно понять, что эти функции периодически повторяются. Пи, 2Пи, 0,5Пи и тд - это и есть этот самый период, через который функция повторяется. И так как если не задан отрезок, функция может повторяться бесконечно. Такую бесконечность и обозновают буквой, например К. Эта буква подразумевается собой целое неотрицательное число.
Период зависит от заданной функции. Его определяют либо по тригонометрическому кругу, либо по синусоиде\косинусоиде. Если решается не графически, то его просто высчитывают. Не из воздуха это берется. Как и все в математике.

Причина в свойстве тригонометрических функций.
Посмотрите на график, например, Y=sin(X). Вы увидите, что значения Y повторяются. То есть если X=0, 2*Pi, 4*Pi и т. д. Y=0
Это называется периодичность функции (значения ф-ции повторяются через определенные интервалы значения аргумента) .

Поэтому, если есть уравнение sin(x)=0 то решением буде не одно число, а множество чисел.
Если перейти от радиан к градусам, то Пи=180 градусов.. . Синус равен нулю, если угол X=0, 180, 360, 480... или 0+180*N или если снова с радианами, то X=0+2*Pi*N

Как-то так.